Chủ đề: Hai đường thảng vuông góc (Hình học 11 - Chương III)

LINK DOWNLOAD MIỄN PHÍ TÀI LIỆU "Chủ đề: Hai đường thảng vuông góc (Hình học 11 - Chương III)": http://123doc.vn/document/558000-chu-de-hai-duong-thang-vuong-goc-hinh-hoc-11-chuong-iii.htm

sinMÔI =
IM
OM
=
3
2
MÔI = 60
0

MÔN = 2MÔI = 120
0
(OM, ON) = 180
0
120
0
= 60
0
.
Vậy, ta đợc (AB, CD) = 60
0
.
Nhận xét: Nh vậy, trong lời giải của ví dụ trên:
ở câu a), để tìm góc giữa AB và DM chúng ta lựa chọn
điểm M trên DM để dựng đờng thẳng song song với AB,
bởi M, A, B cùng thuộc mặt phẳng (ABC) và dựa trên tính
chất đờng trung bình để đặt vấn đề theo cách "Gọi E là
trung điểm của AC". Cuối cùng, côsin của góc
ã
DME
đợc
tính dựa trên định lí hàm số côsin trong tam giác.
ở câu b), với hai đờng thẳng AB và CD (hai cạnh đối của tứ
diện) nếu chúng ta chọn các điểm đầu mút để dựng đờng
thẳng song song với đờng thẳng còn lại sẽ không tạo đợc
một tam giác, tức không thể tính đợc số đo của góc tạo
thành. Và trong những trờng hợp nh vậy, chúng ta thờng
chọn trung điểm của đoạn thẳng nối (tức trung điểm của
AC, AD, BC, BD) để làm điểm xuất phát.
Khi thực hiện yêu cầu này, các em học sinh cần luôn ghi
nhớ "Góc giữa hai đờng thẳng không thể là góc tù".
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a và BC =
a 2
.
Tính góc giữa hai đờng thẳng SC và AB.
Giải
Ta có thể trình bày theo hai cách sau:
Cách 1: Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm của SA, SB, AC.
Khi đó, ta nhận thấy:
MP //SC
MN // AB



(SC, AB) = (MP, MN).
Trong MNP, ta có:
cos

NMP
=
2 2 2
MN MP NP
2MN.MP
+
. (1)
Ta lần lợt có:
MN =
1
2
AB =
a
2
vì MN là đờng trung bình, (2)
MP =
1
2
SC =
a
2
vì MP là đờng trung bình. (3)
Trong SBP, theo định lí đờng trung tuyến ta có:
5
S
A B
P
C
M N
PB
2
+ PS
2
= 2NP
2
+
2
SB
2
. (4)
Nhận xét rằng:
Vì ABC vuông tại A (có AB
2
+ AC
2
= BC
2
) nên:
PB
2
= AB
2
+ AP
2
= a
2
+
2
a
4
=
2
5a
4
. (5)
Vì SAC đều (có SA = SC = AC = a) nên PS =
a 3
2
. (6)
Thay (5), (6) vào (4), ta đợc NP =
a 3
2
. (7)
Thay (2), (3) và (7) vào (1), ta đợc:
cos

NMP
=
1
2


NMP
= 120
0
.
Vậy, góc giữa hai đờng thẳng SC và AB bằng 180
2
120
2
= 60
0
.
Cách 2: Ta đi tính góc giữa hai vectơ
SC
uur
và
AB
uuur
, ta có:
cos(
SC
uur
,
AB
uuur
) =
SC.AB
|SC | .| AB|
uur uuur
uur uuur
=
(SA AC).AB
SC.AB
+
uuur uuur uuur
=
SA.AB AC.AB
SC.AB
+
uuur uuur uuur uuur
.
Trong đó:
Vì SAB đều (có SA = SB = AB = a) nên:
SA.AB
uuur uuur
= SA.AB.cos(180
0
SÂB) = a.a.cos120
0
=
2
a
2
.
Vì ABC vuông tại A (có AB
2
+ AC
2
= BC
2
) nên
AC.AB
uuur uuur
= 0.
Từ đó, ta đợc:
cos(
SC
uur
,
AB
uuur
) =
2
2
a
0
2
a
+
=
1
2
(
SC
uur
,
AB
uuur
) = 120
0
.
Vậy, góc giữa hai đờng thẳng SC và AB bằng 180
2
120
2
= 60
0
.
Cách 3: Ta đi tính góc giữa hai vectơ
SC
uur
và
AB
uuur
, ta có:
cos(
SC
uur
,
AB
uuur
) =
SC.AB
|SC | .| AB|
uur uuur
uur uuur
=
( )
SC SB SA
SC.AB

uur uur uuur
=
SC.SB SC.SA
SC.AB

uur uur uur uuur
.
Trong đó:
Vì SBC vuông tại S (có SB
2
+ SC
2
= BC
2
) nên
SC.SB
uur uur
= 0.
Vì SAC đều (có SA = SC = AC = a) nên:
SC.SA
uur uuur
= SC.SA.cosASC = a.a.cos60
0
=
2
a
2
.
Từ đó, ta đợc:
6
cos(
SC
uur
,
AB
uuur
) =
2
2
a
0
2
a

=
1
2
(
SC
uur
,
AB
uuur
) = 120
0
.
Vậy, góc giữa hai đờng thẳng SC và AB bằng 180
2
120
2
= 60
0
.
Nhận xét: Nh vậy, trong lời giải của ví dụ trên:
ở cách 1, góc giữa SC và AB đợc xác định dựa theo kinh
nghiệm đã biết trong nhận xét của ví dụ trớc.
ở cách 2, chúng ta đi tính góc giữa SC và AB thông qua
các vectơ chỉ phơng của nó. Với cách này thông thờng
chúng ta nhận đợc một lời giải ngắn gọn hơn. Tuy nhiên,
khi đó các em học sinh cần có kiến thức tốt về vectơ.
ở cách 3, vẫn với ý tởng nh trên, nhng chúng ta biến đổi
vectơ
AB SA SB=
uuur uuur uur
để nhận đợc tích vô hớng của các vectơ
cùng gốc, và nh trong chủ đề trớc chúng ta đã đợc biết rằng
"Đối với tứ diện (hoặc gọi là hình chóp) SACB chúng ta th-
ờng chọn bộ vectơ sơ sở là
SA, SB, SC
uuur uur uur
để biểu diễn cho
các vectơ còn lại". ý tởng này sẽ đợc thấy lại trong ví dụ
tiếp theo.
Ví dụ 5: (Bài 17/tr 117 Sbt): Cho hình hộp ABCD.ABCD có các cạnh
bằng a,
ã
0
BAD 60=
,
ã
ã
0
BAA' DAA' 120 .= =
a. Tính góc giữa các cặp đờng thẳng AB với AD và AC với BD.
b. Tính diện tích các hình ABCD và ACCA.
c. Tính góc giữa đờng thẳng AC và các đờng thẳng AB, AD, AA.
Giải
Đặt
x AB=
r uuur
,
y AD=
r uuur
,
z AA'=
r uuuur
.
Sử dụng công thức tích vô hớng lần lợt có:
2 2 2
2
x y z a .= = =
r r r
2 2 2
a a a
x.y , y.z , z.x .
2 2 2
= = =
r r r r r r
b. Ta lần lợt:
Với hai đờng thẳng AB và AD ta có hai cách:
Cách 1: Ta có:
AB // CD (AB, AD) = (CD, AD).
Trong ACD, ta có:
ã
2 2 2
A'D CD A'C
cosA'DC
2A'D.CD
+
=
. (1)
Ta lần lợt có:
7
A
A
B
B
C
C
D
D
AD
2
= AA
2
+ AD
2
2AA.AD.cos
ã
DAA'
= a
2
+ a
2
2a.a.cos120
0
= 3a
2
A 'D a 3.= (2)
A'C AC AA' AB AD AA' x y z= = + = +
uuuur uuur uuuur uuur uuur uuuur r r r


( )
2
2
A'C x y z= +
uuuur r r r
=
2 2 2
x y z 2x.y 2y.z 2z.x+ + +
r r r r r r r r r
= 2a
2

A'C a 2.=
(3)
8
Giỏo ỏn in t ca bi ging ny giỏ: 1.000.000.
1. Liờn h thy Lấ HNG C qua in thoi 0936546689
2. Bn gi tin v:
Lấ HNG C
S ti khon: 1506205006941
Chi nhỏnh NHN
0
& PTNT Tõy H
3. 3 ngy sau bn s nhn c Giỏo ỏn in t qua email.
LUễN L NHNG GAT
BN SNG TO TRONG TIT DY
9
Thay (2), (3) vào (1) với lu ý CD = a, ta đợc:
ã
2 2 2
3a a 2a 1
cosA'DC .
2.a 3.a 3
+
= =
Vậy, góc giữa hai đờng thẳng AB và AD có côsin bằng
1
.
3
Cách 2: Ta có:
( )
AB.A'D
cos AB, A'D
| AB|.| A'D |
=
uuur uuuur
uuur uuuur
uuur uuuur
( )
AB AD AA'
| AB|.| A'D |

=
uuur uuur uuuur
uuur uuuur
AB.AD AB.AA'
.
| AB|.| A'D |

=
uuur uuur uuur uuuur
uuur uuuur
(4)
Trong đó:
AD
2
= AA
2
+ AD
2
2AA.AD.cos
ã
DAA'
= a
2
+ a
2
2a.a.cos120
0
= 3a
2
A 'D a 3.= (5)
AB.AD =
uuur uuur
AB.AD.cosBAD = a.a.cos60
0
=
2
a
2
. (6)
AB.AA' =
uuur uuuur
AB.AA.cosBAA = a.a.cos120
0
=
2
a
2
. (7)
Thay (5), (6), (7) vào (4), ta đợc:
( )
2 2
a a
1
2 2
cos AB, A'D .
a.a 3 3
+
= =
uuur uuuur
Vậy, góc giữa hai đờng thẳng AB và AD có côsin bằng
1
.
3
Với hai đờng thẳng AC và BD ta có hai cách:
Cách 1: Ta có:

AC' x y z,= + +
uuuur r r r


B'D AD AB' AD AB AA' y x z,= = =
uuuur uuur uuuur uuur uuur uuuur r r r
( ) ( )
AC'.B'D x y z y x z= + +
uuuur uuuur r r r r r r
( )
2
2
y x z= +
r r r
(
)
2 2 2
y x z 2x.z= + +
r r r r r
= 0

AC' B'D
uuuur uuuur
.
Vậy, góc giữa hai đờng thẳng AC và BD bằng 90
0
.
Cách 2: Trong hình bình hành ABCD, ta có:
AD = a,
AB' AB AA' x z= + = +
uuuur uuur uuuur r r

( )
2
2 2 2
2
AB' x z x z 2xz a= + = + + =
uuuur r r r r rr
AB =
a,
( )
AD.AB' y x z y.x y.z 0= + = + =
uuur uuuur r r r r r r r

ã
0
DAB' 90 .=
10
Từ đó, suy ra ABCD là hình vuông, nên góc giữa hai đờng thẳng AC và BD
bằng 90
0
.
c. Ta lần lợt:
Với hình bình hành ABCD, ta có:
ã
A'B'CD
S A'D.A'B'.sin DA'B'=
2
2
1
a 3.a. 1 a 2.
3

= =
ữ

Với hình bình hành ACCA, ta có:
ã
ACC'A '
S AC.CC'.sin ACC'.=
(8)
Trong đó:
AC AB AD x y= + = +
uuur uuur uuur r r

( )
2
2 2 2
2
AC x y x y 2xy 3a= + = + + =
uuur r r r r rr


AC a 3.=
(9)
( )
2
2
2
AC' x y z 2a= + + =
uuuur r r r

AC' a 2.=
ã
2 2 2
AC CC' AC'
cosACC'
2AC.CC'
+
=
2 2 2
3a a 2a 1
2.a 3.a 3
+
= =


ã ã
2
1
sin ACC' 1 cos ACC' .
3
= =
(10)
Thay (9), (10) vào (8), ta đợc
2
ACC'A '
6
S a 3.a. a 2.
3
= =
d. Ta lần lợt:
Với hai đờng thẳng AC và AB, ta có:
( )
AC'.AB x y z x= + +
uuuur uuur r r r r
2
2
x x.y x.z a= + + =
r r r r r

( )
2
AC'.AB a 1
cos AC', AB
a 2.a 2
AC' AB
= = =
uuuur uuur
uuuur uuur
uuuur uuur

( )
0
AC', AB 45 .=
uuuur uuur
Vậy, góc giữa hai đờng thẳng AC và AB bằng 45
0
.
Với hai đờng thẳng AC và AD, ta có:
( )
AC'.AD x y z y= + +
uuuur uuur r r r r
2
2
y x.y y.z a= + + =
r r r r r

( )
2
AC'.AD a 1
cos AC', AD
a 2.a 2
AC' AD
= = =
uuuur uuur
uuuur uuur
uuuur uuur

( )
0
AC', AD 45 .=
uuuur uuur
Vậy, góc giữa hai đờng thẳng AC và AD bằng 45
0
.
Với hai đờng thẳng AC và AA, ta có:
( )
AC'.AA' x y z z= + +
uuuur uuuur r r r r
2
z x.z y.z 0= + + =
r r r r r

AC' AA'
uuuur uuuur
.
Vậy, góc giữa hai đờng thẳng AC và AA bằng 90
0
.
11
Nhận xét: Nh vậy, trong lời giải của ví dụ trên để tính góc giữa hai đờng
thẳng chúng ta đã linh hoạt sử dụng kiến thức về vectơ để tính
độ dài đoạn thẳng cũng với số đo góc giữa chúng.
Ví dụ 6: (Bài 20/tr 118 Sbt): Cho tứ diện ABCD. Lấy các điểm M, N lần lợt
thuộc các đờng thẳng BC và AD sao cho
MB kMC=
uuur uuuur
và
NA kND=
uuur uuur

với k là số thực khác 0 cho trớc. Đặt là góc giữa hai vectơ
MN
uuuur
và
BA
uuur
, là góc giữa hai vectơ
MN
uuuur
và
CD
uuur
. Tìm mối liên hệ giữa AB
và CD để = = 45
0
.
Giải
Kẻ MP // AB, ta có:
PA MB MB NA NA
k
PC MC ND
MC ND
= = = = =
uuur uuur
uuuur uuur
PN // CD
suy ra:
( ) ( )
ã
MN, BA MN, MP NMP .= = =
uuuur uuur uuuur uuur
( ) ( )
ã
MN, CD MN, PN MNP .= = =
uuuur uuur uuuur uuur
Trong MNP, ta có:
= = 45
0

ã
0
PM PN
.
MPN 90
=




=


Ta lần lợt:
Ta có:
PM CP CP
PM .AB;
AB CA CA
= =
PN AP AP
PN .CD;
CD CA CA
= =
Với điều kiện PM = PN, suy ra:
CP AP
.AB .CD
CA CA
=

AB PA
CD PC
=
MB MB
k
MC
MC
= = =
uuur
uuuur
AB =
kCD.
Với điều kiện
ã
0
MPN 90=
, ta có ngay AB CD.
Vậy, với AB CD và AB = kCD thoả mãn điều kiện đầu bài.
Ví dụ 7: (Bài 24/tr 118 Sbt): Cho tứ diện ABCD có BC = AD = a,
AC = BD = b, AB = CD = c. Đặt là góc giữa BC và AD, là góc
giữa AC và BD, là góc giữa AB và CD. Chứng minh rằng trong
ba số hạng a
2
cos, b
2
cos, c
2
cos có một số hạng bằng tổng hai số
hạng còn lại.
Giải
Đặt
a AD=
r uuur
,
b AC=
r uuur
,
c AB=
r uuur
.
Ta lần lợt:
12
A
C D
M
B
P N
A
C D
B
Với hai đờng thẳng BC và AD ta có:
AD.BC
uuur uuur
=
AD.(AC AB)
uuur uuur uuur
=
AD.AC AD.AB
uuur uuur uuur uuur

( ) ( )
2 2 2 2 2 2
1 1
AD AC DC AD AB DB
2 2
= + +

( )
2 2 2 2
1
AC DB AB DC
2
= +
( )
2 2 2 2
1
2b 2c b c
2
= =

( )
2 2
2
b c
cos AD, BC
a

=
uuur uuur
a
2
.cos = b
2
c
2
.
Tơng tự, với hai đờng thẳng AC và BD, AB và CD ta có:
b
2
.cos = c
2
a
2
, c
2
.cos = a
2
b
2
.
Khi đó, không mất tính tổng quát, giả sử a b c, ta đợc:
a
2
.cos = b
2
c
2
, b
2
.cos = a
2
c
2
, c
2
.cos = a
2
b
2
và trong trờng hợp này, ta có:
b
2
.cos = a
2
.cos + c
2
.cos.
Chú ý: Ví dụ tiếp theo minh hoạ việc sử dụng tính chất số đo góc trong
không gian để xác định đặc tính của thiết diện.
Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành với AB = a,
AD = 2a, SAB là tam giác vuông cân tại A, M là điểm trên cạnh
AD (M khác A và D). Mặt phẳng qua M song song với mặt
phẳng (SAB) cắt BC, SC, SD lần lợt tại N, P, Q.
a. Chứng minh rằng MNPQ là hình thang vuông.
b. Đặt AM = x. Tính diện tích của MNPQ theo a và x.
Giải
a. Ta có:
//(SAB)
(SAD) MQ
(SAB) (SAD) SA



=


=

MQ // SA. (1)
//(SAB)
(ABCD) MN
(SAB) (ABCD) AB



=


=

MN // AB. (2)
Từ (1) và (2) suy ra
ã
0
NMQ 90=
.
Mặt khác, ba mặt phẳng (ABCD), (SCD) và cắt nhau theo ba giao tuyến MN,
CD, PQ có:
MN // CD MN // PQ MNPQ là hình thang vuông.
13
S
D
B
A
C
M
N
P
Q
b. Ta có:
S
MNPQ
=
1
2
(MN + PQ).MQ. (3)
Ta có ngay MN = AB = a. (4)
Trong SAD, ta có:
MQ DM AD AM 2a x
SA DA DA 2a

= = =
MQ =
2a x
2

. (5)
Trong SCD, ta có:
PQ SQ AM x
CD SD AD 2a
= = =
PQ =
x
2
. (6)
Thay (4), (5), (6) vào (3), ta đợc:
S
MNPQ
=
1
2
(a +
x
2
)
2a x
2

=
1
8
(4a
2
x
2
).
Ví dụ 9: (Bài 18/tr 117 Sbt): Cho tứ diện ABCD trong đó góc giứa đờng
thẳng AB và CD bằng . Gọi M là điểm bất kì thuộc cạnh AC, đặt
AM = x (0 < x < AC). Xét mặt phẳng (P) đi qua điểm M và song
song với AB, CD.
b. Xác định vị trí của M để diện tích thiết diện của hình tứ diện
ABCD với mặt phẳng (P) đạt giá trị lớn nhất.
c. Chứng minh rằng chu vi của thiết điện nêu trên không phụ
thuộc vào x khi AB = CD.
Giải
a. Ta thực hiện:
Dựng MN // CD và MQ // AB.
Dựng NP // AB.
Khi đó MNPQ là thiết diện cần dựng và nó là hình
bình hành có:
(MQ, MN) = (AB, CD) =
ã
sin QMN sin=
.
Ta có ngay:
S
MNPQ
= MQ.MN.
ã
sin QMN
. (1)
Ta lần lợt:
Trong ABC, ta có:
MQ CM AC AM
AB AC AC

= =

AB
MQ (AC x).
AC
=
. (2)
Trong ACD, ta có:
MN AM
CD AC
=

CD
MN .x.
AC
=
. (3)
Thay (2), (3) vào (1), ta đợc:
14
D
A B
Q
C
N P
M