CHUYEN_DE_TOA_DO( giai toan pho thong)

LINK DOWNLOAD MIỄN PHÍ TÀI LIỆU "CHUYEN_DE_TOA_DO( giai toan pho thong)": http://123doc.vn/document/573403-chuyen-de-toa-do-giai-toan-pho-thong.htm

+ Độ dài đoạn thẳng.
+ Khoảng cách từ điểm đến đờng thẳng.
+ Góc giữa hai đờng thẳng
+ Diện tích
II. Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1: Cho ABC vuông tại A, AB = 3, AC = 4. Gọi M là trung điểm
của AC. Tính bán kính đờng tròn ngoại tiếp MBC.
Giải:
Cho hệ trục toạ độ với A 0, b oy và C Ox
Khi đó: A(0, 0), B(0, 3), C (4, 0) và M(2, 0)
Giả sử đờng tròn (O) ngoại tiếp MBC
Có dạng: (O) x
2
+ y
2
- 2ax

- 2by + C = 0
Với a
2
+ b
2
- c 0
Điểm M, B, C (O) nên
4 - 4a + c = 0 a = 3
9 - 6b + c = 0 b =
17
6
thoả mãn điều kiện
16 - 8a + c = 0 c = 8
Vậy đờng trong (O) có bán kính
R
2
= a
2
+ b
2
- c =
325
36
R =
5 13
6
Ví dụ 2: Cho ABC vuông cân tại A. Tính góc giữa hai trung tuyến BE, CF
Giải:
Cho hệ trục toạ độ Oxy với A O, B Ox và C Oy
Khi đó: A(0, 0), B(a, 0), C(0, a), E(0,
2
a
), F(
2
a
, 0)
Nên ta có:
AE
uuur
(-a,
2
a
),
CF
uuur
(
2
a
, -a)
5
y
B
O A M C x
y
C
O A F B x
E

BE = CF =
5
2
a
2
BE CF ( )
2 2
a a
a a a = + =
uuur uuur
Cos =
2
2
.
4
5
5
.
4
BE CF
a
a
BE CF
= =
uuur uuur
uuuur uuuur
Ví dụ 3: Cho ABC vuông cân tại C. Dựng đoạn CI (với I AB) vuông
góc với trung tuyến AM. Tính tỷ số
BI
AI
.
Giải:
Chọn hệ trục toạ độ Oxy với C O, A Ox và B Oy (Giả sử CA = CB = 1)
Khi đó: A(1, 0), B(0, 1), C(0, 0), M(0,
1
2
).
Giả sử I(x, y),
Do
AI
uur
cùng hớng với
AB
uuur
Do đó:
1
1 1
x y
=

(1)
Do CI
uur

AM
uuuur
nên ta có
0
2
y
x + =
(2)
Từ (1) và (2):
1
1
3
1 1
2
0
2 3
x y
x
y
x y



=
=







+ = =




Hay
1 2 1
;
3 3 2
BI
I
AI

=
ữ

Ví dụ 4: Cho hình thang vuông ABCD, đờng cao AB. Biết rằng:
. 4AB AC =
uuur uuur
,
. 9CA CB =
uuur uuur
và
. 6CB CD =
uuur uuur
a. Tính độ dài các cạnh của hình thang.
6
y
B
C O A x
M
I
b. Gọi EF là đờng trung bình của hình thang, tính độ dài hình chiếu của EF
lên BD.
Giải:
Chọn hệ trục toạ độ Oxy với B O, A Ox khi đó:
A(0, h), B(0, 0), C(b, 0), D(a, h) với a, b, h > 0
a. Ta có:
2
4 . (0, ).( , )AB AC h b h h= = =
uuur uuur
h = 2 AB = 2
2
9 . ( , ).( , 0)CA CB b h b b= = =
uuur uuur
b = 3 BC = 3
6 . ( ,0).( , ) 3( 3)CB CD b a b h a= = =
uuur uuur
a = 1 AD = 1
CD
2
= AB
2
+ NC
2
= (b - a)
2
+ h
2
= 4 + 4 = 8 CD =
2 2
b. Ta có:
Hình chiếu của EF lên BD là E
1
F
1
( )
1 1
. 2
. ,
5
.
BD EF
E F EF Cos BD EF EF
BD EF

= = =

uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
Bài toán 2:
Giải các bài toán định tính
I. Phơng pháp
Ta thực hiện các bớc sau:
Bớc 1: Thiết lập hệ trục toạ độ thiết hợp, từ đó suy ra toạ độ các điểm cần
thiết.
Bớc 2: Thiết lập biểu thức giải tích cho điều kiện, từ đó suy ra kết quả cần
chứng minh. Cụ thể.
1. Để chứng minh một biểu thức vectơ, ta cần xác định toạ độ của các
vectơ trong biểu thức đó, từ đó thay vào biểu thức để đa ra kết luận.
7
y
A
O B N C x
D
F
E
F
1
E
1
h
a b
2. Chứng minh mối liên hệ đại số.
3. Với
1 2
,a a
ur uur
là vectơ chỉ phơng của (d
1
) và (d
2
) thì:
a. (d
1
) // (d
2
)
1
. 1 .
2 2 2 2
c c c c
x x y y
AE BF
+

= +
ữ

uuur uuur
//
2
a
uur

b. (d
1
) (d
2
)
1
a
ur

2
a
uur

1
a
ur
.
2
a
uur
= 0
II. Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1: Cho ABC đều cạnh a. M là điểm bất kỳ nằm trên đờng tròn
ngoại tiếp ABC. Chứng minh rằng:
MA
2
+ MB
2
+ MC
2
= 2a
2
Giải:
Chọn hệ trục toạ độ Oxy với trọng tâm G O, A Oy và BC // Ox
Khi đó: A(0,
3
3
a
), B(
3
.
2 6
a a

), C (
3
.
2 6
a a

)
Ta có:
Đờng tròn ngoại tiếp ABC có phơng trình:
(C): x
2
y
2
=
2
3
a
; Điểm M(x
0
,y
0
) C

2
2 2
0 0
3
a
x y+ =
(1)

2 2
2
2 2 2 2
0 0 0 0
3 3
3 2 6
a a a
MA MB MC x y x y


+ + = + + + + +
ữ ữ
ữ
ữ ữ


( )
2
2
2 2 2
0 0 0 0
3
3 2
2 6
a a
x y x y a


+ + + = + =
ữ
ữ
ữ


(1)
Ví dụ 2: Cho ABC vuông tại C. Trên các cạnh AC, CA, AB lấy các điểm
M, N, P sao cho:
MB NC PA
MC NA PB
= =
8
y
A
B C
O G x
Chứng minh rằng CP MN và CP = MN
Giải:
Chọn hệ trục toạ độ Oxy với C O, A Ox và B Oy
Khi đó: A(1, 0), B(0, 1), C(0, 0)
Khi đặt:
MB NC PA
K
MC NA PB
= = =
thì các điểm M, N, P lần lợt chia các đoạn
AC, CA, AB theo tỷ số K tức là:
1
,
1
M C
K

ữ
+

,
,
1
K
N O
K

ữ
+

,
1
,
1 1
K
P
K K

ữ
+ +

Từ đó ta có:
1
,
1 1
K
MN
K K

=
ữ
+ +

uuuur
2 2
. 0
(1 ) (1 )
K K
CP MN
K K
= =
+ +
uuur uuuur
CP MN
2 2
2
2 2 2
1 1
(1 ) (1 ) (1 )
K K
CP MN CP MN
K K K
+
= + = = =
+ + +
uuur uuuur
Ví dụ 3: Cho ABC cân tại A. Gọi H là trung điểm BC, D là hình chiếu
của H trên AC, M là trung điểm HD. Chứng minh rằng AM BD.
Giải:
Chọn hệ trục toạ độ Oxy, giả sử H O(0, 0), A(0, a), B(-b, 0), C(b, 0)
Giả sử D(x, y) từ giả thiết ta có:
2 2
2 2 2 2
/ /
,
AD AC
a b ab
D
a b a b
BD AC





ữ
+ +




uuur uuur
uuur uuur
Toạ độ điểm
2 2
2 2 2 2
,
2( ) 2( )
a b ab
M
a b a b

ữ
+ +

Xét tính vô hớng:
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
. 0
2( ) 2( )
a b a b ab ab
AM BD b a
a b a b a b a b

= + + =
ữ

+ + + +

uuuur uuur
9
y
B
O C N A x
M
P
A
y
B O H C
x
M
AM BD AM BD
uuuur uuur
Ví dụ 4: Cho ABC, biết BC
2
+ AC
2
= 5AB
2
Chứng minh rằng AE và BF vuông góc với nhau.
Giải:
Chọn hệ trục toạ độ Oxy sao cho:
A(0, 0), B(1, 0), C(x
0
, y
0
).
0 0
1
,
2 2
x y
E
+

ữ

,
0 0
,
2 2
x y
F

ữ

BC
2
+ AC
2
= 5AB
2
2 2 2 2
0 0 0 0
( 1) 5x y x y + + + =
2 2
0
c c c
x y x z + + =
(*)
Xét
1
. 1 .
2 2 2 2
c c c c
x x y y
AE BF
+

= +
ữ

uuur uuur
=
( )
2 2
1
2 0
4
c c c
x y x+ =
(*)
AE BF
Bài toán 3:
Giải bài toán điểm và quỹ tích điểm
I. Phơng pháp
Ta thực hiện các bớc sau:
Bớc 1: Thiết lập hệ trục toạ độ thích hợp, từ đó suy ra toạ độ các điểm cần
thiết.
Bớc 2: Thiết lập biẻu thức cho đối tợng cần tìm quỹ tích, từ đó suy ra quỹ
tích của nó.
II. Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1: Cho đoạn AB = a cố định. Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn:
2
2 2
5
2
a
MA MB+ =
(1)
Giải
10
y
C
O A B x
F
E
Cho hệ trục toạ độ Oxy với A, B Ox và đối xứng qua Oy.
Khi đó:
,0
2
a
A


ữ

,
,0
2
a
B

ữ

Điểm M(x, y) thoả mãn (1) khi và chỉ khi:
2 2
2
2 2
5
2 2 2
a a a
x y x y

+ + + + =
ữ ữ

x
2
+ y
2
= a
2
Tức là M thuộc đờng tròn tâm O bán kính R = a
Ví dụ 2: Cho đoạn AB = a cố định. Tìm tập hợp tất cả các điểm M thoả
mãn:
2
2 2
2
a
MA MB =
(*).
Giải:
Chọn hệ trục toạ độ Oxy với A, B Ox và đối xứng qua Oy.
Khi đó:
,0
2
a
A

+
ữ

,
,0
2
a
B

ữ

Điểm M(x, y) thoả mãn (*)
2 2
2
2 2
2 2 2
a a a
x y x y


+ + + =

ữ ữ



4
a
x =
Tức là M (d) qua H là trung điểm của OB và vuông góc với AB.
Ví dụ 3: Cho ABC đều, cạnh a. Tìm tập hợp những điểm M
Sao cho:
2
. . .
4
a
MA MB MB MC MC MA+ + =
uuur uuur uuur uuuur uuuur uuur
(1)
Giải:
Chọn hệ trục toạ độ Oxy với trọng tâm G O, A Oy và BC // Ox.
Khi đó:
3
0,
3
a
A

ữ
ữ

,
3
,
2 6
a a
B


ữ
ữ

,
3
,
2 6
a a
C

ữ
ữ

11
y
M
B
a
O x
A B
-a
a
-a
-a/2
a/2
y
E B
O H
M
d
x
Điểm M(x, y) thoả mãn (1)
3 3
, ,
3 2 6
a a a
x y x y



ữ ữ
ữ ữ

3 3
, ,
2 6 2 6
a a a a
x y x y


+
ữ ữ
ữ ữ

2
3 3
, ,
2 6 6 4
a a a a
x y x y

+ =
ữ ữ
ữ ữ

2
2 2
4
a
x y + =
Vậy điểm M thuộc đờng tròn tâm O bán kính R =
2
a
12
y
A
B
C
O G x
M
a/2
Phần II
Sử dụng phơng pháp toạ độ
trong không gian giải toán
Chủ đề I: Giải các bài toán tam diện
Mở đầu
Phơng pháp toạ độ trong không gian để giải các bài toán của tam diện đợc
chia thành các dạng:
Dạng 1: Giải bài toán định lợng
Dạng 2: Giải bài toán cực trị
Dạng 3: Giải bài toán định tính
Dạng 4: Giải bài toán về điểm và quỹ tích điểm
Lợc đồ chung khi sử dụng phơng pháp này là thực hiện theo các bớc:
Bớc 1: Thiết lập hệ trục toạ độ thích hợp cho tam diện, từ đó suy ra toạ độ
của các điểm cần thiết.
Bớc 2: Thực hiện yêu cầu của bài toán dựa trên kiến thức về hình học giải
tích trong không gian.
Một số trờng hợp đặc biệt có góc tam diện Oabc
+ Tam diện vuông thì hệ trục toạ độ vuông
góc thiết lập ngay trên đó.
+ Tam diện có một góc phẳng vuông, khi
đó ta thiết lập một mặt của hệ trục toạ độ chứa
góc phẳng đó.
13
z c
y
b
O
a
x
z
y
b
O
a
x
c
Với các dạng tam diện khác ta cần linh hoạt (nếu có thể) để có phép
chuyển đổi thích hợp.
Bài toán 1:
Giải bài toán định lợng
I. Phơng pháp
Ta thực hiện các bớc sau:
Bớc 1: Thiết lập hệ trục toạ độ thích hợp của tam diện, từ đó suy ra các
điểm cần thiết.
Bớc 2: Thiết lập biểu thức giải tích cho giá trị cần xác định, thông thờng
bao gồm:
+ Độ dài đoạn thẳng.
+ Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.
+ Khoảng cách từ điểm đến đờng thẳng.
+ Khoảng cách giữa 2 đờng thăng.
+ Góc giữa hai đờng thẳng.
+ Góc giữa đờng thẳng và mặt phẳng.
+ Góc giữa 2 mặt phẳng.
+ Thể tích khối đo diện.
+ Diện tích thiết diện.
II. Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1: Cho góc tam diện vuông Oxyz, trên Ox, Oy, Oz lấy các điểm A,
B, C sao cho OA = a, OB = b, OC = c.
a. Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC).
b. Trong OABC vẽ nội tiếp một hình lập phơng sao cho một đỉnh trùng với
O còn đỉnh đối diện thuộc mặt phẳng (ABC), tính độ dài cạnh của hình lập ph-
ơng.
Giải:
14
x
O
B
A
C
z
y