LINK DOWNLOAD MIỄN PHÍ TÀI LIỆU "Phương trình vô tỷ BoxMath ": http://123doc.vn/document/569944-phuong-trinh-vo-ty-boxmath.htm
Suy ra phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt thuộc khoảng (-2;2).
Đặt x = 2 cos α với α ∈ (0; π)
Khi đó, phương trình (1) trở thành:
8cos
3
α − 4cos
2
α − 4 cos α + 1 = 0
⇔ 4 cos α(2cos
2
α − 1) = 4(1 − sin
2
α) − 1
⇔ 4 cos α. cos 2α = 3 − 4sin
2
α
⇔ 4 sin α. cos α. cos 2α = 3 sin α − 4sin
3
α (do sinα> 0)
⇔ sin 4α =
s
in3α
⇔
α = k2π
α =
π
7
+
k2π
7
(k ∈ Z)
Vì α ∈ (0; π) nên α ∈
π
7
;
3π
7
;
5π
7
.
Vậy, tập nghiệm của phương trình là:
S =
2 cos
π
7
; 2 cos
3π
7
; 2 cos
5π
7
6 Giải phương trình:
3
√
2x − 1 +
3
√
x − 1 =
3
√
3x + 1
Lời giải
Phương trình đã cho tương đương:
3x + 1 =
3
√
2x − 1 +
3
√
x − 1
3
⇔ 3x + 1 = 3x − 2 + 3
3
(2x − 1)(x − 1)
3
√
2x − 1 +
3
√
x − 1
⇔ 1 =
3
(2x − 1)(x − 1)
3
√
2x − 1 +
3
√
x − 1
Kết hợp với phương trình ban đầu ta được
3
(2x − 1)(x − 1)(3x + 1) = 1
⇔ 6x
3
− 7x
2
= 0
⇔
x = 0
x =
7
6
Thử lại, ta được x =
7
6
Vậy tập nghiệm của phương trình là
S =
7
6
Bài tập: Giải phương trình:
1.
√
2x
2
+ 16x + 18 +
√
x
2
− 1 = 2x + 4 5.
√
3x + 19 +
√
3x − 2 =
√
7x + 11 +
√
2x
2.
3
√
x +
3
√
x − 16 =
3
√
x − 8 6. 2
(2 − x)(5 − x) = x +
(2 − x)(10 − x)
3.
√
1 + x
2
− x =
5
2
√
1 + x
2
7. 3x
2
+ 2
√
x + 3(2 − x) = 5x + 3
4.
√
1 + x
2
=
3x
1 − x
letrungtin87@gmail.com 3
2. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
2. Phương pháp đưa về phương trình tích
1 Giải phương trình:
2x + (4x
2
− 1)
√
1 − x
2
= 4x
3
+
√
1 − x
2
Lời giải
Điều kiện −1 ≤ x ≤ 1
Phương trình đã cho tương đương:
2x + 4x
2
√
1 − x
2
−
√
1 − x
2
= 4x
3
+
√
1 − x
2
⇔ 2
x −
√
1 − x
2
+ 4x
2
√
1 − x
2
− x
= 0
⇔ (1 − 4x
2
)
x −
√
1 − x
2
= 0
⇔
1 − 4x
2
= 0
x −
√
1 − x
2
= 0
⇔
x = ±
1
2
x ≥ 0
x
2
= 1 − x
2
⇔
x = ±
1
2
x =
√
2
2
thỏa điều kiện
Vậy tập nghiệm phương trình là
S =
−
1
2
;
1
2
;
√
2
2
2 Giải phương trình:
4
√
x =
3
8
+ 2x
Lời giải
Điều kiện x ≥ 0 Phương trình tương đương:
16
√
x + 8
4
√
x + 1 = 16x + 16
√
x + 4
⇔
4
4
√
x + 1
2
−
4
√
x + 2
2
= 0
⇔(4
√
x − 4
4
√
x + 1)(4
√
x + 4
4
√
x + 3) = 0
⇔
4
√
x − 4
4
√
x + 1 = 0
4
√
x + 4
4
√
x + 3 = 0
⇔
2
4
√
x − 1
2
= 0
⇔x =
1
16
Vậy tập nghiệm của phương trình là
S =
1
16
letrungtin87@gmail.com 4
2. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
3 Giải phương trình:
2x − 3
3
√
4x
2
+ 4x + 1 = x
3
− 3
3
√
2x + 1
Lời giải
Phương trình tương đương:
3
(2x + 1)
3
− 3
3
(2x + 1)
2
+ 3
3
√
2x + 1 − 1 = x
3
⇔ (
3
√
2x + 1 − 1)
3
= x
3
⇔
3
√
2x + 1 = x + 1
⇔ x
3
+ 3x
2
+ x = 0
⇔
x = 0
x
2
+ 3x + 1 = 0
⇔
x = 0
x =
−3 ±
√
5
2
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm:
S =
−3 −
√
5
2
;
−3 +
√
5
2
; 0
4 Giải phương trình:
x
4
+ 18x
3
+ 88x
2
+ 197x + 163 =
√
x + 9(x
3
+ 16x
2
+ 55x + 84)
Lời giải
Điều kiện: x ≥ −9
Với điều kiện, phương trình đã cho tương đương:
(x + 2)(x
3
+ 16x
2
+ 55x + 84) + (x + 2)
2
=
√
x + 9(x
3
+ 16x
2
+ 55x + 84) + (
√
x + 9)
2
⇔ (x
3
+ 16x
2
+ 55x + 84)(x + 2 −
√
x + 9) + (x + 2 −
√
x + 9)(x + 2 +
√
x + 9) = 0
⇔ (x + 2 −
√
x + 9)((x + 9)(x + 2)
2
+ 3(x + 9) + 3(x + 2)
2
+ x + 11 +
√
x + 9) = 0 (1)
Vì x ≥ −9 nên (x + 9)(x + 2)
2
+ 3(x + 9) + 3(x + 2)
2
+ x + 11 +
√
x + 9 > 0
Do đó
(1) ⇔ x + 2 −
√
x + 9 = 0 ⇔
x ≥ −2
x
2
+ 3x − 5 = 0
⇔ x =
√
29 − 3
2
Vậy tập nghiệm của phương trình là
S =
√
29 − 3
2
letrungtin87@gmail.com 5
2. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
5 Giải phương trình:
1 +
√
1 − x
2
(1 + x)
3
−
(1 − x)
3
= 2 +
√
1 − x
2
Lời giải
Điều kiện: x ∈ [−1; 1].
Bình phương 2 vế phương trình ta có:
(1 +
√
1 − x
2
)(
√
1 + x −
√
1 − x)
2
(2 +
√
1 − x
2
)
2
= (2 +
√
1 − x
2
)
2
⇔
(2 +
√
1 − x
2
)
2
= 0
(1 +
√
1 − x
2
)(
√
1 + x −
√
1 − x)
2
− 1 = 0
Trường hợp 1: (2 +
√
1 − x
2
)
2
= 0 vô nghiệm
Trường hợp 2: (1 +
√
1 − x
2
)(
√
1 + x −
√
1 − x)
2
− 1 = 0
Đặt t =
√
1 + x −
√
1 − x
Ta có t
2
= 2 − 2
√
1 − x
2
(∗), suy ra
√
1 − x
2
=
2 − t
2
2
, ta có: t
2
≤ 2
Thay vào phương trình ta được:
(4 − t
2
)t
2
− 2 = 0 ⇔ −t
4
+ 4t
2
− 2 = 0 ⇔
t
2
= 2 +
√
2 (loại vì t
2
≤ 2)
t
2
= 2 −
√
2 (nhận)
Thay t
2
= 2 −
√
2 vào (∗) ta có:
−
√
2 = −2
√
1 − x
2
⇔ 4(1 − x
2
) = 2 ⇔
x = −
1
√
2
x =
1
√
2
Thử lại chỉ có nghiệm x =
1
√
2
thỏa mãn
Vậy tập nghiệm của phương trình là
S =
1
√
2
Bài tập: Giải phương trình:
1.
√
x
4
− 5x
2
+ 4 + 2x =
√
4x
4
− 16x
2
+
√
x
2
− 1 5. 9x
2
+ 3
√
9 − x(2x − 1) − 10x + 11 = 0
2. x
2
+ 22x + 5 = 16
√
2x + 51 6. (
√
x + 5 −
√
x − 3)(1 +
√
x
2
+ 2x − 15) = 8
3. x +
4x
x + 4
√
x + 4
= 12
4.
4
√
x =
3
8
+ 2x
letrungtin87@gmail.com 6
3. PHƯƠNG PHÁP TRỤC CĂN THỨC
3. Phương pháp trục căn thức
1 Giải phương trình:
√
x = 1 −
3
√
3x
2
+ x − 1 +
3
√
2x + 1
Lời giải
Điều kiện x ≥ 0
Phương trình tương đương:
√
x − 1 +
3
√
3x
2
+ x − 1 −
3
√
2x + 1 = 0
⇔
x − 1
√
x + 1
+
(x − 1)(3x + 2)
3
(3x
2
+ x − 1)
2
+
3
(3x
2
+ x − 1)(2x + 1) +
3
(2x + 1)
2
= 0
⇔(x − 1)
1
√
x + 1
+
3x + 2
3
(3x
2
+ x − 1)
2
+
3
(3x
2
+ x − 1)(2x + 1) +
3
(2x + 1)
2
= 0
⇔
x = 1 (thỏa điều kiện)
1
√
x + 1
+
3x + 2
3
(3x
2
+ x − 1)
2
+
3
(3x
2
+ x − 1)(2x + 1) +
3
(2x + 1)
2
= 0 (∗)
Do x ≥ 0 nên vế trái của phương trình trên luôn lớn hơn 0, suy ra phương trình (*) vô nghiệm.
Vậy tập nghiệm của phương trình là
S = {1}
Nhận xét: Để chứng minh phương trình (*) vô nghiệm ta đã sử dụng x ≥ 0 để chứng minh
3x + 2 > 0 và sử dụng kết quả x
2
+ xy + y
2
≥ 0 để chứng minh
3
(3x
2
+ x − 1)
2
+
3
(3x
2
+ x − 1)(2x + 1) +
3
(2x + 1)
2
> 0
2 Giải phương trình:
4
√
7x
2
+ 11x + 6 −
√
3x = x − 6
Lời giải
Điều kiện: x ≥ 0
Nhân liên hợp lần đầu cho vế phải phương trình tương đương:
√
7x
2
+ 11x + 6 − 3x
4
√
7x
2
+ 11x + 6 +
√
3x
= x − 6
Tiếp tục nhân liên hợp ta lại được phương trình tương đương:
−2x
2
+ 11x + 6
(
√
7x
2
+ 11x + 6 + 3x)(
4
√
7x
2
+ 11x + 6 +
√
3x)
= x − 6
⇔
(x − 6)(2x + 1)
(
√
7x
2
+ 11x + 6 + 3x)(
4
√
7x
2
+ 11x + 6 +
√
3x)
+ x − 6 = 0
⇔(x − 6)
2x + 1
(
√
7x
2
+ 11x + 6 + 3x)(
4
√
7x
2
+ 11x + 6 +
√
3x)
+ 1
= 0
⇔
x = 6 (thỏa điều kiện)
2x + 1
(
√
7x
2
+ 11x + 6 + 3x)(
4
√
7x
2
+ 11x + 6 +
√
3x)
+ 1 = 0 (∗)
letrungtin87@gmail.com 7
3. PHƯƠNG PHÁP TRỤC CĂN THỨC
Do x ≥ 0 nên vế trái của phương trình trên luôn lớn hơn 0, suy ra phương trình (*) vô nghiệm.
Vậy tập nghiệm của phương trình là
S = {6}
3 Giải phương trình:
(x + 2)(2x − 1) − 3
√
x + 6 = 4 −
(x + 6)(2x − 1) + 3
√
x + 2
Lời giải
Điều kiện:x ≥
1
2
hoặc x ≤ −2.
Với điều kiện phương trình tương đương:
(
√
x + 2 +
√
x + 6)(
√
2x − 1 − 3) = 4
⇔
4
√
x + 6 −
√
x + 2
√
2x − 1 − 3
= 4
⇔
√
2x − 1 − 3 =
√
x + 6 −
√
x + 2
⇔
√
2x − 1 −
√
x + 6 = 3 −
√
x + 2
⇔
x − 7
√
2x − 1 +
√
x + 6
=
7 − x
√
x + 2 + 3
⇔
x = 7
1
√
2x − 1 +
√
x + 6
=
−1
√
x + 2 + 3
⇔ x = 7
Thử lại, ta nhận x = 7.
Vậy tập nghiệm của phương trình là
S = {7}
4 Giải phương trình:
√
2x
2
+ x + 9 +
√
2x
2
− x + 1 = x + 4
Lời giải
Điều kiện x > −4
Phương trình tương đương
2x + 8
√
2x
2
+ x + 9 −
√
2x
2
− x + 1
= x + 4
⇔
√
2x
2
+ x + 9 −
√
2x
2
− x + 1 = 2
Kết hợp phương trình trên và phương trình đã cho, ta được hệ:
√
2x
2
+ x + 9 −
√
2x
2
− x + 1 = 2
√
2x
2
+ x + 9 +
√
2x
2
− x + 1 = x + 4
Suy ra:
2
√
2x
2
+ x + 9 = x + 6 ⇔ 7x
2
− 8x = 0 ⇔
x = 0
x =
8
7
letrungtin87@gmail.com 8
3. PHƯƠNG PHÁP TRỤC CĂN THỨC
So sánh với điều kiện, ta được x = 0; x =
8
7
Vậy tập nghiệm của phương trình là
S =
0;
8
7
5 Giải phương trình:
3x
2
− 4x − 15 = 2
√
2x
2
− 2x − 5
Lời giải
Điều kiện x ≤ −
5
3
hoặc x ≥ 3
Nếu
√
2x
2
− 2x − 5 + x = 0 ⇔ x = 1 −
√
6 thì không thỏa phương trình
Nếu
√
2x
2
− 2x − 5 + x = 0 ⇔ x = 1 −
√
6 thì phương trình tương đương:
3x
2
− 4x − 15 − 2x = 2
√
2x
2
− 2x − 5 − 2x
⇔ 3x
2
− 6x − 15 =
2(x
2
− 2x − 5)
√
2x
2
− 2x − 5 + x
⇔
x
2
− 2x − 5 = 0
3 =
2
√
2x
2
− 2x − 5 + x
Với x
2
− 2x − 5 = 0 ⇔
x = 1 −
√
6 (không thỏa điều kiện)
x = 1 +
√
6 (thỏa điều kiện)
Với 3 =
2
√
2x
2
− 2x − 5 + x
= 0 ⇔
x =
1 − 5
√
2
3
(thỏa điều kiện)
x =
1 + 5
√
2
3
(không thỏa điều kiện)
Vậy tập nghiệm của phương trình là
S =
1 +
√
6,
1 − 5
√
2
3
Bài tập: Giải phương trình:
1.
3
√
15 − x
3
+ 3x
2
− 3x = 2
√
x
2
− 4x + 2 + 3 − x 5. 2x
2
− 6x − 1 =
√
4x + 5
2.
√
2x + 3 +
√
x + 1 =
√
x
2
− 11x + 33 +
√
3x − 5 6. x
2
+ 4x =
√
x + 6
3. 2
√
x
2
− 2x − 1 +
3
√
x
3
− 14 = x − 2 7.
√
x
2
− x + 1 +
√
x
2
+ x + 1 = 2
4.
(4 − x)(x − 2) + 3
√
x − 2 − 12
√
4 − x + 21x − 82 = 0
letrungtin87@gmail.com 9
4. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
4. Phương pháp đặt ẩn phụ
4.1. Đặt ẩn phụ đưa về phương trình một biến
1 Giải phương trình:
√
5x
2
+ 10x + 1 = 7 − x
2
− 2x
Lời giải
Điều kiện −1 − 2
√
2 ≤ x ≤ −1 + 2
√
2
Đặt t =
√
5x
2
+ 10x + 1, điều kiện t ≥ 0, suy ra: t
2
= 5(x
2
+ 2x) + 1
Phương trình trở thành
t
2
+ 5t − 36 = 0 ⇔
t = −9 (không thỏa điều kiện)
t = 4 (thỏa điều kiện)
Với t = 4, ta được:
x
2
+ 2x − 3 = 0 ⇔
x = 1
x = −3
(thỏa điều kiện)
Vậy tập nghiệm của phương trình là
S = {−3; 1}
2 Giải phương trình:
x −
√
x
2
− 1 +
x +
√
x
2
− 1 = 2
Lời giải
Điều kiện x ≥ 1
Ta thấy:
x −
√
x
2
− 1.
x +
√
x
2
− 1 = 1
Đặt t =
x −
√
x
2
+ 1
Phương trình trở thành
t +
1
t
= 2 ⇔ t = 1
Với t = 1, ta có
x −
√
x
2
− 1 = 1
⇔
√
x
2
− 1 = x − 1
⇔x = 1 (thỏa điều kiện)
Vậy tập nghiệm của phương trình là
S = {1}
3 Giải phương trình:
x +
x
√
x
2
− 1
=
35
12
Lời giải
Đk x > 1 hoặc x < −1.
Với điều kiện, phương trình tương đương:
x
2
+
x
2
x
2
− 1
+
2x
2
√
x
2
− 1
=
35
12
2
⇔
x
4
x
2
− 1
+ 2.
x
2
√
x
2
− 1
=
35
12
2
letrungtin87@gmail.com 10
4.1. Đặt ẩn phụ đưa về phương trình một biến 4. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
Đặt t =
x
2
√
x
2
− 1
, điều kiện t > 0
Phương trình trở thành:
t
2
+ 2t −
35
12
2
= 0 ⇔ t =
25
12
(Do t > 0)
Với t =
25
12
, ta được
144x
4
− 625x
2
+ 625 = 0 ⇔
x = ±
5
3
x = ±
5
4
Thử nghiệm, ta được x =
5
3
; x =
5
4
Vậy tập nghiệm của phương trình là
S =
5
3
;
5
4
4 Giải phương trình:
√
x + 1 +
√
8 − x +
(x + 1)(8 − x) = 3
Lời giải
Điều kiện −1 ≤ x ≤ 8
Đặt t =
√
x + 1 +
√
8 − x ⇒ t
2
= 9 + 2
(x + 1)(x − 8), điều kiện t ∈ [3; 3
√
2]
Phương trình trở thành
t +
t
2
− 9
2
= 3 ⇔ t
2
+ 2t − 15 = 0 ⇔
t = −5 (không thỏa điều kiện)
t = 3 (thỏa điều kiện)
Với t = 3, ta được
(x + 1)(8 − x) = 0 ⇔
x = −1
x = 8
(thỏa điều kiện)
Vậy tập nghiệm của phương trình là
S = {−1; 8}
5 Giải phương trình:
x
2
+ 2x
x −
1
x
= 3x + 1
Lời giải
Điều kiện −1 ≤ x < 0 hoặc x ≥ 1
Với điều kiện, phương trình tương đương
x −
1
x
+ 2
x −
1
x
− 3 = 0
letrungtin87@gmail.com 11
4.1. Đặt ẩn phụ đưa về phương trình một biến 4. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
Đặt t =
x −
1
x
, điều kiện t ≥ 0
Phương trình trở thành
t
2
+ 2t − 3 = 0
⇔
t = 1 (thỏa điều kiện)
t = −3 (không thỏa điều kiện)
Với t = 1, ta được
x −
1
x
= 1
⇔ x
2
− x − 1 = 0
⇔
x =
1 +
√
5
2
x =
1 −
√
5
2
Thử lại, ta được x =
1 ±
√
5
2
Vậy tập nghiệm của phương trình là
S =
1 −
√
5
2
;
1 +
√
5
2
6 Giải phương trình:
x + 2
2
− 1 =
3
3(x − 3)
2
+
3
9 (x − 3)
Lời giải
Điều kiện: x ≥ −2
Đặt: t =
3
x − 3
3
Suy ra:
3
3(x − 3)
2
= 3t
2
3
9(x − 3) = 3t
x + 2
2
− 1 =
3t
3
+ 5
2
− 1
Do đó, phương trình tương đương:
3t
3
+ 5
2
= 3t
2
+ 3t + 1
⇔
3t
2
+ 5
2
= (3t
2
+ 3t + 1)
2
⇔ − 3(t + 1)(6t − 1)(t
2
+ t + 1) = 0
⇔
t = −1
t =
1
6
letrungtin87@gmail.com 12
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét