Chơng lớp biên
Đặt vấn đề
Vấn đề quan trọng trong cơ học chất lỏng ứng dụng là tính lực cản của vật chuyển
động trong chất lỏng (hoặc vật đứng yên còn chất lỏng chuyển động bao quanh).
Ví dụ: Khảo sát tàu thuỷ chuyển động trên mặt nớc, máy bay chuyển động trong
chất lỏng với vận tốc không đổi. Khi đó công suất động cơ dùng để khắc phục lực
cản. muốn biết lực cản phải biết phân bố lực ma sát (ứng suất tiếp) trên bề mặt của
vật tiếp xúc với chất lỏng, do đó phải nghiên cứu lớp chất lỏng sát vật: lớp biên.
Trong lớp chất lỏng này tính nhớt đóng vai trò rất quan trọng, ở sát bề mặt vật vận
tốc của chất lỏng bằng 0 và vận tốc này sẽ tăng rất nhanh để đạt giá trị bằng vận
tốc ở vùng ngoài lớp biên, vì vậy trong vùng lớp biên, gradient vận tốc có giá trị
rất lớn.
r1. Khái niệm về lớp biên. các chiều dày đặc trng của lớp biên
I. Lớp biên
Khảo sát 1 bản phẳng đứng yên, trên bản phẳng có dòng chất lỏng chuyển động
với vận tốc u
. Trên bề mặt bản phẳng do tính bám của chất lỏng nên vận tốc lớp
chất lỏng trên bề mặt là u=0, các lớp chất lỏng tiếp đó có vận tốc tăng dần cho đến
lúc vận tốc đạt giá trị u
của dòng, nghĩa là có sự chuyển hoá từ u=0 u= u
.
Định nghĩa: Lớp chất lỏng từ bề mặt vật có vận tốc u=0 cho đến vị trí có vận tốc
bằng 99% u
gọi là lớp biên.
x
y
Gọi là khoảng cách từ từ bề mặt vật đến vị trí có vận tốc bằng 99% u
: chiều
dày lớp biên, gia trị const trong lớp biên: =(x)
Nhận xét:
Trong chiều dày lớp biên, sự thay đổi vận tốc diễn ra rất nhanh:
dy
du
lớn do đó
ứng suất tiếp
dy
du
à=
là rất lớn: ta khảo sát với giả thuyết chất lỏng là thực.
Ngoài lớp biên
dy
du
0 =0, ảnh hởng của tính nhớt không đáng kể, ta có thể
coi chất lỏng là lý tởng.
II. Các chiều dày đặc trng của lớp biên:
Khái niệm về chiều dày lớp biên không có ý nghĩa định lợng chính xác, khi y tăng
vận tốc của lớp biên tiến dần đến giá trị của dòng ngoài u
. Đại lợng phụ thuộc
vào việc chọn ở đâu điểm quy ớc rõ biên giới lớp biên. Do đó ngời ta đa ra những
chiều dày đặc trng khác của lớp biên.
1) Chiều dày bị ép:
*
Xét ảnh h- ởng động học của tính nhớt lên vị trí đờng dòng. Vì đ-
ờng dòng là đờng lu lợng bằng nhau nên đờng dòng AB trong chất lỏng lý tởng
phải tơng ứng với đờng dòng AB trong chất lỏng thực nhng ở xa bề mặt vật hơn.
Gọi
*
là khoảng cách dịch chuyển của đờng dòng do ảnh hởng của tính nhớt, ta
tính lu lợng Q
t
của chất lỏng thực qua mặt cắt giữa bề mặt vật và đờng dòng cách
thành rắn một khoảng y (xét trên bề rộng vật bằng 1 đơn vị):
=
0
t
dyuQ
Đờng dòng tơng ứng của chất lỏng lý tởng sẽ gần bề mặt vật hơn 1 đoạn
*
, tính từ
điều kiện cân bằng lu lợng:
x
y
lý tởng
thực
u
AB
A'B'
*
x
( )
===
0
t
*
l
dyuQuQ
=
=
=
0
0
0
0
*
dy
u
u
1
u
dyu
dy
u
dyu
Đối với chất lỏng không nén thì =
=const
dy
u
u
1
0
*
=
(1)
Đặt
==
==
ddyy
y
u
u
Vậy
( ) ( )
==
=
d1dy1dy
u
u
1
1
000
*
( )
=
d1
1
0
*
(1')
*
là chiều dày bị ép, đặc trng cho sự lệch dòng do có lớp biên, ngoài ra
*
còn
đặc trng cho sự giảm lu lợng của dòng chảy qua mặt cắt với thành rắn của vật.
Sự giảm lu lợng đó do lớp biên ép chất lỏng làm chất lỏng chuyển động trong
lớp biên có vận tốc nhỏ hơn vận tốc u
của dòng ngoài.
Với lớp biên trên tấm phẳng, chất lỏng không nén:
*
= 0,375.
2) Chiều dày mất xung lực
**
Xét ảnh hởng động lực của tính nhớt lên dòng chảy bao quanh vật.
Xét động lợng tiêu hao trong lớp biên có bề rộng bằng 1 đơn vị trong 1 đơn vị thời
gian
( ) ( ) ( )
dyuuuuudyuuudQdK
000
===
Gọi
**
: chiều dày mất xung lực, là đại lợng thoả mãn biểu thức:
( )
dKdyuuuuu
0
**
==
Khi =const
( )
( )
=
=
=
=
1
000
2
2
2
0
**
d1dy
u
u
1
u
u
dy
u
u
u
u
u
dyuuu
Vậy
( )
=
1
0
**
d1
(2)
Với lớp biên trên tấm phẳng, chất lỏng không nén:
**
= 0,146.
**
là chiều dày mất xung lực, trong
**
động lợng của chất lỏng lý tởng (vận tốc
u
) bằng động lợng tiêu hao trong lớp biên .
Định nghĩa một cách khác,
**
là chiều dày lớp chất lỏng chuyển động ở ngoài lớp
biên mà động lợng của nó bằng xung lực của lực ma sát nhớt trong lớp biên.
3) Chiều dày tổn thất năng lợng
***
Xét năng lợng tiêu hao (tổn thất động năng) trong lớp biên có bề rộng bằng 1 đơn
vị trong 1 đơn vị thời gian
( ) ( )
dy
u
u
1uu
2
1
uudyu
2
1
uudQ
2
1
dt
dE
0
2
2
2
0
22
0
22
===
Gọi
***
: chiều dày tổn thất năng lợng, là đại lợng thoả mãn biểu thức:
( )
dy
u
u
1uu
2
1
uu
2
1
0
2
2
22***
=
Khi =const
dy
u
u
1
u
u
0
2
2
***
=
Vậy
( )
=
1
0
2***
d1
(3)
***
là chiều dày lớp chất lỏng chuyển động với vận tốc u
mà động năng của nó
bằng động năng bị tổn thất trong lớp biên.
Vậy với chất lỏng không nén Chất lỏng bị nén
( )
=
d1
1
0
*
dy
u
u
1
0
*
=
( )
=
1
0
**
d1
dy
u
u
1
u
u
0
**
=
( )
=
1
0
2***
d1
dy
u
u
1
u
u
0
2
2
***
=
2. Hệ phơng trình vi phân lớp biên. Hệ pt Prandtl (chuyển động phẳng,
dừng, chất lỏng không nén)
Xuất phát từ hệ pt Navier Stokes trong bài toán phẳng:
Vận tốc v
x
=uv
y
=v
0
y
v
x
u
0vdiv
y
v
v
x
v
u
t
v
y
v
x
v
y
p1
R
y
u
v
x
u
u
t
u
y
u
x
u
x
p1
R
2
2
2
2
y
2
2
2
2
x
=
+
=
+
+
=
+
+
+
+
=
+
+
Nhận xét:
Do lớp biên rất mỏng nên: v<<u
Biến thiên vận tốc u theo y rất lớn so với theo x:
x
u
y
u
>>
Lực nhớt trong lớp biên rất lớn nên bỏ qua lực khối
Hệ phơng trình còn lại:
0
y
v
x
u
0
y
p
y
u
x
p1
y
u
v
x
u
u
t
u
2
2
=
+
=
+
=
+
+
Nhận xét:
áp suất p trong lớp biên chỉ phụ thuộc theo phơng x vì
0
y
p
=
Prandtl giả thiết chuyển động trong lớp biên là dừng nên
0
t
u
=
Xét cho lớp chất lỏng ngay ngoài lớp biên:
y= u = u
, khi đó
0
y
u
=
vì ngoài lớp biên u
không thay đổi theo y nữa.
Phơng trình viết theo phơng x sẽ trở thành:
x
p1
x
u
u
=
Hệ phơng trình lớp biên trở thành:
0
y
v
x
u
y
u
x
u
u
y
u
v
x
u
u
2
2
=
+
+
=
+
(Hệ pt Prandtl 1904)
Với các điều kiện biên y=0 u=v=0
y= u=u
(x)
Giải hệ pt Prandtl ta tìm đợc u(x,y) và v(x,y) trong toàn lớp biên, do đó có thể tính
đợc ứng suất tiếp nhớt trên bề mặt vật và tìm ra lực cản.
Ngời ta áp dụng rộng rãi phơng pháp gần đúng để giải bài toán lớp biên dựa trên
việc đánh giá sự biến thiên động lợng trong lớp biên: Phơng pháp hệ thức tích
phân Cacman
3. Giải hệ pt Prandtl - Phơng pháp hệ thức tích phân Cacman
Ta thấy từ chiều dày bị ép
*
: tất cả khôí lợng chất lỏng chảy trong lớp biên chính
bằng khối lợng nằm giữa đờng AB và bản phẳng CD với vận tốc bằng 0 (khối lợng
bị ép) và khối lợng chảy trên AB đến giới hạn lớp biên với vận tốc u
(x) (sự thay
đổi vận tốc theo phơng x bé nhng vẫn có)
Lực tác dụng vào lớp bị ép bao gồm:
Lực ma sát do thành bản phẳng (tờng CD) tác dụng lên khối lợng bị ép
áp lực theo phơng dòng chảy
Phơng trình biến thiên động lợng áp dụng cho đoạn dx trong lớp biên (coi khối
chất lỏng có bề rộng là 1 đơn vị, do dx rất bé nên chiều dày lớp bị ép
*
trên đoạn
dx là không đổi):
dpdxdK
*
w
+=
(12)
Với :
w
.dx: xung lực của lực ma sát tác dụng lên khối lợng bị ép
*
.dp: xung lực của lực áp suất tác dụng lên khối lợng bị ép
Mặt khác, động lợng tiêu hao trong lớp biên tính trong 1 đơn vị thời gian dK tính
theo chiều dày tổn thất xung lực:
( )
**2
0
udyuuudK ==
(13)
y
x
dx
o
p
p+dp
*
a
b
c d
Với:
=
0
**
dy
u
u
1
u
u
Vì chuyển động ngoài lớp biên là chuyển động có thế nên
dx
dp
có thể biểu diễn
theo pt Bernoulli đối với chất lỏng không nén, chất lỏng lý tởng (không có h
w
):
2
u
Cpconst
2
u
p
22
==+
Đạo hàm theo x:
'
uu
dx
du
u
dx
dp
==
(14)
(12)
dx
du
u
dx
dp
dx
dK
*
w
*
w
=+=
(13)
( )
dx
du
u
dx
du
u2
dx
d
u
dx
d
u
dx
ud
dx
dK
*
w
****2
**
2
**2
=++
+
=
=
Chia cho
2
u
:
2
w
*******
udx
du
udx
du
u
2
dx
d
dx
d
=
+
+
+
Hay
( )
2
w
)3(
***
)2(
**
)1(
**
u
2
dxu
du
dx
d
dx
d
=++
+
(1) biểu diễn ứng suất mất mát đối với chuyển động của chất lỏng nén đợc (
thay đổi theo x), đối với chất lỏng không nén đợc thì (1) = 0
Vậy pt đối với chất lỏng không nén:
( )
2
w
***
**
u
2
dx
du
u
1
dx
d
=++
(15)
Khi u
=const, số hạng thứ hai trong vế trái của pt (15) bằng 0
(15) gọi là hệ thức tích phân Cacman vì chứa các đại lợng
*
,
**
Từ hệ thức (15), nếu biết đợc profil vận tốc trong lớp biên ta biết đợc
*
,
**
và
giải pt (15) ta đợc
w
Ví dụ : Profil Ponhawden:
0
dx
du
;AAA
u
u
3
3
2
20
++==
Lớp biên chảy tầng trên tấm phẳng
Điều kiện: áp suất p, u
không đổi:
0
dx
du
;0
dx
dp
==
Pt (15) trở thành:
2
w
**
u
dx
d
=
(16)
Cho dạng profil vận tốc:
n
n
2
210
A AAA
u
u
++++==
Các hệ số A0, A1, A2 đợc xác định từ các điều kiện biên. Giả sử có 3 điều kiện
biên:
= 0 (y=0); = 0 (u=0)
= 1 (y=); = 1 (u=u
)
và
=
=
0
y
u
0
profil vận tốc có dạng:
2
210
AAA
u
u
++==
Từ các điều kiện biên ta xác định đợc: A
0
= 0 A
1
= 2A
2
= -1
Dạng profil vận tốc sẽ là:
2
2
u
u
==
Từ đó tính đợc:
( )
=+=
3
1
d21
1
0
2*
( ) ( )
=+=
15
2
d212
1
0
22**
Xác định biểu thức
w
trên bản phẳng:
=
=
2
2
2
2
yy
2uu
yy
2
u
u
à=à=
=
2
w
2
y22
u
dy
duy22
u
dy
du
Tại bản phẳng : y=0 nên
à=
u
2
w
; thay giá trị
**
và
w
vào pt (15):
22
w
**
u
u
2
dx
d
15
2
udx
d
à
=
=
=
à
=
u
x
30dx
u
u15
d
2
Từ đó ta có
x
2
Re
48,5
x
x
xu
30
u
x
30 =
=
=
Nh vậy tỷ lệ với
x
; biết sẽ tính đợc
w
và tính đợc hệ số lực cản.
=
=
=
u
x
dx
d
48,5
15
4
dx
d
15
4
u
2
1
C
2
w
f
Hệ số lực cản cục bộ:
x
f
Re
722,0
C =
Lực ma sát trên toàn tấm phẳng:
l
2
l
2
3
l
0
5,03
l
0
l
0
l
0
w
Re
Su
30
4
Re
bl2u
30
4
lu2
30
b4
dxxu
30
b4
X
dx
u
x
30
u
b4dx
u
2b2dxb2X
=
=à=à=
à=
à==
Với S=2 b l: diện tích hai phía của tấm phẳng hình chữ nhật dài l rộng b
Hệ số lực cản toàn bộ:
l
2
x
Re
444,1
Su
2
1
X
C =
=
Lực cản
Lực cản do ma sát trong lớp biên:
F
=
w
.
Ta lại có:
2
w
fw
2
f
u
2
1
CuC
2
1
F
===
Trong đó: : diện tich bề mặt tiếp xúc với chất lỏng
C
f
: hệ số lực cản cục bộ, phụ thuộc hình dạng vật (thiết kế, chế tạo)
Ví dụ: Ô tô tải: C
f
= 0,8 - 0,9
Ô tô con: C
f
= 0,48
Lực cản toàn phần tác dụng lên vật chuyển động trong chất lỏng:
Dòng chất lỏng chuyển động với vận tốc u
bao quanh vật rắn cố định sẽ gây lực
tiếp tuyến và lực pháp tuyến tác dụng lên vật. Tổng hợp các lực thành phần dP
n
và
dP
t
sẽ cho hợp lực
+= PPP
n
và momen M.
P
n
u
: lực nâng (đã khảo sát trong chơng dòng thế)
P
t
cùng phơng nhng ngợc chiều với u
: lực cản.
Ta có
S
2
u
CP
2
x
=
C
x
: hệ số lực cản
S
2
u
CP
2
yn
=
C
y
: hệ số lực nâng
S gọi là tiết diện cản chính: diện tích hình chiếu của vật lên mặt phẳng u
apms
PPP
+=
apxmsxx
CCC +=
P
tms
: do ma sát trong lớp biên
P
tap
: do phân bố áp suất trên bề mặt vật cản
Với vận tốc dòng chảy nhỏ, ảnh hởng chính của hệ số lực cản là hình dạng vật
cản, góc tới và số Re. Vật có dạng khí động xấu nghiã là dòng bao quanh nó có
điểm rời , không bao kín (thuyền thúng, hình trụ) thì P
tap
>P
tms
Với
cánh máy bay, cánh tuabin: P
= P
ms
(1+K) K=0,1 ữ 0,25
Thờng hệ số lực cản đợc cho theo bảng
Từ lực cản có thể tính ra công suất cản.
3. Giải gần đúng. Phơng pháp giải của Falkner Skan
1. Lớp biên trên bản phẳng không có gradient áp suất: phơng pháp giai của
Blasius
Với chất lỏng ở ngoài lớp biên (ký hiệu e), ta có:
u(x,y) = u
e
(x) = u
v(x,y) = 0 p(x,y) = p
e
(x) = p
(3.1)
Phơng trình Prandtl viết dới dạng hàm dòng:
( ) ( )
( ) ( )
)4.3(yyxuy,x
)3.3(00,x
y
0,x
)2.3(
yyyxxy
e
2
3
=
=
=
(x,y) là biến duy nhất trong hệ pt
Bằng phép phân tích thứ nguyên có thể đa ra mối quan hệ về chiều dày lớp biên
với chiều dài bản phẳng L và số Re
L
:
5,0
L
2
1
Re
L
u
L
=
=
U
x
y
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét