giáo an tự chọn - chủ đề 1

Trường THCS Lê Thanh Liêm Chủ đề tự chọn Đại Số 9
Chủ Đề Tự Chọn:
BẤT ĐẲNG THỨC - BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Tiết 1+2 BẤT ĐẲNG THỨC TRONG CĂN BẬC HAI SỐ HỌC
I. Mục tiêu:
- Giúp học sinh ôn lại các tính chất của bất đẳng thức đã học ở lớp 8.
- Giúp học sinh nắm vững định nghĩa căn bậc hai số học của một số không âm.
- Biết được liên hệ của phép khai phương với quan hệ thứ tự và dùng liên hệ này để so sánh
các số.
II. Tiến trình dạy học:
(Tiết 1)
I. Nhắc lại kiến thức:
1. Bất đẳng thức:
a. Tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép cộng:
- Khi cộng cùng một số vào hai vế của bất đẳng thức ta được một bất đẳng thức mới cùng
chiều với bất đẳng thức đã cho.
Với a, b và c, ta có:
Nếu a < b thì a + c < b + c Nếu a ≤ b thì a + c ≤ b + c
Nếu a > b thì a + c < b + c Nếu a ≥ b thì a + c ≥ b + c
b. Tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép nhân:
- Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương ta được một bất đẳng
thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.
Với a, b và c, mà c > 0 ta có:
Nếu a < b thì ac < bc Nếu a ≤ b thì ac ≤ bc
Nếu a > b thì ac > bc Nếu a ≥ b thì ac ≥ bc
- Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm ta được một bất đẳng
thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho.
Với a, b và c, mà c < 0 ta có:
Nếu a < b thì ac > bc Nếu a ≤ b thì ac ≥ bc
Nếu a > b thì ac < bc Nếu a ≥ b thì ac ≤ bc
c. Tính chất bắc cầu:
Với a, b và c, nếu a < b và b < c thì a < c
(các thứ tự lớn hơn, nhỏ hơn hoặc bằng, lớn hơn hoặc bằng cũng có tính chất bắc cầu)
Gv: Yêu cầu học sinh nhắc lại các tính chất của bất đẳng thức. Với mỗi tính chất yêu cầu học
sinh lên bảng ghi công thức tổng quát.
Trang 1 Gv: Lê Nguyên Trúc Dung
Trường THCS Lê Thanh Liêm Chủ đề tự chọn Đại Số 9
2. Định nghĩa căn bậc hai số học:
Căn bậc hai số học của một số a không âm là số không âm x mà bình phương bằng a.
Ta có: với a ≥ 0 ,



=
≥
⇔=
ax
x
ax
2
0

Gv: Yêu cầu học sinh nhắc lại định nghĩa căn bậc hai số học của một số không âm a. Gọi một
học sinh lên bảng viết định nghĩa theo kí hiệu.
Ví dụ 1: Tìm căn bậc hai số học của các số sau: 64; 25; 121; 225; 23; 14; 0.
Ví dụ 2: Tìm x không âm biết: x
2
= 2. Vậy x là căn bậc hai số học của 2 (x =
2
)
Hs: trình bày miệng bài giải của hai ví dụ 1 và 2.
(Tiết 2)
II. So sánh các căn bậc hai số học:
a. Định lí:
Với hai số a và b không âm, ta có:
baba
<⇔<

Ví dụ 1: So sánh
a) 5 và
26
b)
113
và 11
ta có: 5 =
25
, ta có: 11 =
121
vì 25 < 26 nên
25
<
26
vì 113 < 121 nên
113
<
121
Vậy 5 <
26
Vậy
113
< 11
Ví dụ 2: Tìm số không âm x, biết:
a)
x
<
2
20
<≤⇔
x
b)
x2
< 4 ⇔
x2
<
16
1620
<≤⇔
x

80
<≤⇔
x
b. Dùng kết quả sau để so sánh:
“Với mọi a, b dương ta có a < b ⇔ a
2
< b
2
“
Ví dụ 3: So sánh
a) 5 và
26
b)
113
và 11
ta có: 5
2
= 25 ;
( )
2
26
= 26 ta có:
( )
113113
2
=
; 11
2
= 121
vì 25 < 26 nên 5
2
<
( )
2
26
vì 113 < 121 nên
( )
2
113
< 11
2
Vậy 5 <
26
Vậy
113
< 11.
Trang 2 Gv: Lê Nguyên Trúc Dung
Trường THCS Lê Thanh Liêm Chủ đề tự chọn Đại Số 9
Ví dụ 4: So sánh
a)
35
và
54
ta có:
( )
753.2535
2
==
và
( )
805.1654
2
==

vì 75 < 80 nên
( ) ( )
22
5435
<
Vậy
35
<
54
b)
23
và
32
ta có:
23
>
32
(
)
(
)
22
3223
>⇔
( ) ( )
22
3223
>⇔
⇔18 > 12
Bất đẳng thức cuối cùng đúng nên
23
>
32
c. Dùng tính chất bắc cầu:
Với a, b và c, nếu a < b và b < c thì a < c
Ví dụ 5: So sánh
1733
−
và
156
−
Ta có:
1517
−<−
⇔
15331733
−<−
63633
=<
⇔
15361533
−<−
nên
15361733
−<−
Vậy
1561733
−<−
Ví dụ 6: So sánh
11710
++
và
61
Ta có:
3910
=>
và
41617
=>
suy ra:
11710
++
> 3 + 4 + 1= 8 (1)
ta lại có:
61
<
864
=
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
11710
++
>
61
Hướng dẫn về nhà:
- Ôn lại các tính chất của bất đẳng thức, định nghĩa căn bậc hai số học của một số không âm.
- Xem lại các bài toán về so sánh các căn bậc hai số học, nắm được các phương pháp so sánh.
- Chuẩn bị: tiết sau luyện tập.
Tiết 3+4 LUYỆN TẬP
I. Mục tiêu:
- Giúp học sinh được rèn luyện nhiều về tìm căn bậc hai số học của một số không âm.
- Học sinh được luyên tập so sánh các căn bậc hai số học nhờ vào mối liên hệ giữa phép khai
phương và tính chất của bất đẳng thức.
Trang 3 Gv: Lê Nguyên Trúc Dung
Trường THCS Lê Thanh Liêm Chủ đề tự chọn Đại Số 9
- Rèn kĩ năng trình bày bài giải một cách cẩn thận, lôgíc.
II. Tiến trình dạy học:
(Tiết 1)
Dạng 1: Tìm căn bậc hai số học của một số
Phương pháp:
Căn bậc hai số học của số không âm a là
a
.
Với a ≥ 0, ta có:
Nếu x =
a
thì x ≥ 0 và x
2
= a.
Nếu x ≥ 0 và x
2
= a thì x =
a
Bài 1: Tính căn bậc hai số học của:
a) 0,09b) 0,49 c) 0,64d) 0,81 e)
25
1
f) – 100
Bài 2: Số nào có căn bậc hai là:
a)
3
b) 1,3 c) – 0,1 d) –
3
e) 0 f) 100
Bài 3: Dùng máy tính bỏ túi, tính giá trị gần đúng của nghiệm mỗi phương trình sau (làm tròn
đến chữ số thập phân thứ 3)
a) x
2
= 7 b) x
2
= 2,5 c) x
2
=
3
Dạng 2: So sánh hai số.
Phương pháp:
Áp dụng các định lí tính chất:
1. Với hai số a và b không âm, ta có:
baba
<⇔<

2. Với mọi a, b dương ta có a < b ⇔ a
2
< b
2

3. Với a, b và c, nếu a < b và b < c thì a < c
4. Các tính chất của bất đẳng thức.
Bài 1: So sánh
a) 7 và
50
b)
139
và 12 c)
56
và
65
d)
53
và 8
(gợi ý: áp dụng tính chất 2, riêng câu a) và câu b) áp dụng được với tính chất 1)
Bài 2: So sánh
a) 2 và 1 +
2
b) 1 và
3
– 1 c)
113
và 12 d) – 10 và
312
−
(gợi ý: áp dụng các tính chất của bất đẳng thức và tính chât1 để giải các bài tập trên)
a) So sánh 1 và
2
⇒ 1 + 1 và 1 +
2
b) So sánh 2 và
3
⇒ 2 – 1 và
3
– 1
c) So sánh
11
và 4 ⇒
113
và 3.4
Trang 4 Gv: Lê Nguyên Trúc Dung
Trường THCS Lê Thanh Liêm Chủ đề tự chọn Đại Số 9
d) So sánh 5 và
31
⇒ – 2.5 và – 2
31
Bài 3: So sánh
a)
1931
−
và
176
−
b)
1213
−
và
1112
−
(gợi ý: áp dụng tính chất 3 )
a) so sánh
1731
−
và
1736
−
⇒
1931
−
và
1731
−
b) ta có:
( )( )
12131213
+−
= 1 và
( )( )
112111112
=+−
mà
12111213
+>+
nên
1213
−
<
1112
−
(tiết 2)
Dạng 3: Tìm x thoả điều kiện cho trước
Phương pháp:
Áp dụng định nghĩa:
ax
=
(a ≥ 0) ⇔ x = a
2

Áp dụng tính chất:Với a, b ≥ 0:
baba
<⇔<
Bài 1:Tìm x không âm, biết:
a)
15
=
x
b)
142
=
x
c)
2
<
x
d)
42
<
x
a) ta có:
15
=
x
⇔ x = 15
2
= 225
b) ta có:
142
=
x
⇔
7
=
x
⇔ x = 7
2
= 49
c) ta có:
2
<
x
⇔ 0 ≤ x < 2
d) ta có:
42
<
x
⇔
162
<
x
⇔ 0 ≤ 2x < 16 ⇔ 0 ≤ x < 8
Bài 2: Tìm x không âm, biết:
a)
15
=
x
b)
2
=
x
c)
2
−=
x
a)
15
=
x
⇔ x

= 225
b)
2
=
x
⇔ x

= 4
c) Không có giá trị nào của x
Dạng 4: Chứng minh bất đẳng thức
Phương pháp:
Biến đổi: A > B ⇔ C < D. Nếu C < D đúng thì A < B đúng.
Áp dụng tính chất bắc cầu: Nếu a < b và b < c thì a < c
Bài 1: Chứng minh rằng:
a) Nếu a > 1 thì a >
a
b) Nếu 0 < a < 1 thì a <
a
a) Vì a > 1 nên
a
> 1 ⇔ 1 –
a
< 0
⇔
a
(1 –
a
) < 0
Trang 5 Gv: Lê Nguyên Trúc Dung
Trường THCS Lê Thanh Liêm Chủ đề tự chọn Đại Số 9
⇔
a
– a < 0
Vậy
a
< a
b) Vì 0 < a < 1 nên 0 <
a
< 1.
Ta có:
a
– a =
a
(1 –
a
) > 0 vì 0 <
a
và 1 –
a
> 0
Vậy
a
> a.
Bài 2: Chứng minh rằng
a)
1
2
135
2
1
<
−
<
b)
3
3
23217
3,2
<
−
<
c)
ab
ba
>
+
2
(với a, b không âm)
a)
1
2
95
2
135
2
165
2
1
=
−
<
−
<
−
=
b)
3
3
16217
3
23217
3
25217
3
7
3,2
=
−
<
−
<
−
=<
c) Xét hiệu:
0
2
)(
2
2
≥
−
=−
+
ba
ab
ba
dấu bằng xảy ra khi a = b
Hướng dẫn về nhà:
- Ôn lại các quy tắc của bất phương trình, định nghĩa căn thức bậc hai của một biểu thức không
âm. Điều kiện xác định của căn thức bậc hai.
- Xem lại các bài toán đã giải.
Tiết 5+6 BẤT PHƯƠNG TRÌNH TRONG CĂN THỨC BẬC HAI
I. Mục tiêu:
- Giúp học sinh ôn lại các quy tắc của bất phương trình đã học ở lớp 8.
- Giúp học sinh nắm vững định nghĩa căn thức bậc hai của một biểu thức không âm.
- Học sinh được rèn luyện cách tìm điều kiện xác định của căn thức bậc hai thông qua việc giải
bất phương trình.
II. Tiến trình dạy học:
(Tiết 1)
I. Nhắc lại kiến thức:
1. Hai quy tắc biến đổi bất phương trình:
a. Quy tắc chuyển vế:
Trang 6 Gv: Lê Nguyên Trúc Dung
Trường THCS Lê Thanh Liêm Chủ đề tự chọn Đại Số 9
Khi chuyển vế một hạng tử của bất phương trình từ vế này sang vế kia ta phải đổi dấu
hạng tử đó.
b. Quy tắc nhân với một số:
Khi nhân hai vế của một bất phương trình với cùng một số khác 0, ta phải:
- Giữ nguyên chiều bất phương trình nếu số đó dương.
- Đổi chiều bất phương trình nếu số đó âm.
Gv: Yêu cầu học sinh nhắc lại các quy tắc biến đổi bất phương trình. Lên bảng biểu diễn các tập
nghiệm của bất phương trinh như đã học ở lớp 8.
2. Tập nghiệm và biểu diễn tập nghiệm trên trục số:
Bất phương trình Tập nghiệm
Biểu diễn tập nghiêm trên trục số
x < a {x / x < a}
a
x ≤ a {x / x ≤ a}
a
x > a {x / x > a}
a
x ≥ a {x / x ≥ a}
a
II. Căn thức bậc hai:
Với A là một biểu thức đại số thì
A
được gọi là căn thức bậc hai của A.
1. Điều kiện để căn thức xác định:
A
xác định ( hay có nghĩa ) khi và chỉ khi A lấy giá trị không âm.
Chú ý:
A
có nghĩa ⇔ A ≥ 0
A
1
có nghĩa ⇔ A > 0
Gv: yêu cầu học sinh nêu được thế nào là căn thức bậc hai của một biểu thức, nêu được điều
kiện để
A
xác định.
Ví dụ: Với giá trị nào của a thì mỗi căn thức sau có nghĩa:
a)
3
a

b)
5a-
c)
a-7
d)
8 3a
+
a)
3
a

có nghĩa ⇔
00
3
a

≥⇔≥
a
b)
5a-
có nghĩa ⇔
0a05a-
≤⇔≥
c)
a-7
có nghĩa ⇔
7a0a-7
≤⇔≥
d)
8 3a
+
có nghĩa ⇔
3
8
a083a
−
≥⇔≥+
(tiết 2)
2. Hằng đẳng thức
AA
=
2
Trang 7 Gv: Lê Nguyên Trúc Dung
Trường THCS Lê Thanh Liêm Chủ đề tự chọn Đại Số 9
Với A là một biểu thức ta có
AA
=
2
, có nghĩa là:
AA
=
2
nếu A ≥ 0 ( tức là A lấy giá trị không âm )
AA
=
2
nếu A < 0 ( tức là A lấy giá trị âm )
Ví dụ1: Rút gọn
a)
( )
2
12
−
b)
( )
2
52
−
a)
( )
121212
2
−=−=−
(vì
)12
>
b)
( )
255252
2
−=−=−
(vì
)25
>
Ví dụ 2: Rút gọn
a)
( )
2
1
−
x
với x ≥ 1 b)
6
a
với a < 0
a)
( )
111
2
−=−=−
xxx
vì x ≥ 1
b)
33
2
36
aaaa
−==






=
với a < 0
Ví dụ 3: Tìm điều kiện xác định của các căn thức sau:
a)
144
1
2
++
xx
b)
65
1
2
++
xx
a)
( )
22
12
1
144
1
+
=
++
x
xx
xác định
( )
2
1
012
2
−≠⇔>+⇔ xx

b)
)3)(2(
1
65
1
2
−−
=
++
xx
xx
xác định
( )
20)3(2
<⇔>−−⇔
xxx
hoặc
3
>
x
Hướng dẫn về nhà:
- Ôn lại các quy tắc của bất phương trình, định nghĩa căn thức bậc hai của một biểu thức không
âm. Điều kiện xác định của căn thức bậc hai.
- Xem lại các bài toán đã giải.
- Chuẩn bị: Tiết sau Luyện Tập.
Trang 8 Gv: Lê Nguyên Trúc Dung
Trường THCS Lê Thanh Liêm Chủ đề tự chọn Đại Số 9
Tiết 7+8: LUYỆN TẬP
I. Mục tiêu:
- Giúp học sinh được rèn kĩ năng tìm điều kiện xác định của x để căn thức có nghĩa, biết áp dụng
hằng đẳng thức
AA
=
2
để rút gọn biểu thức.
- Học sinh được luyên tập giải bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên trục số để tìm điều
kiện xác định của căn thức.Biết rút gọn biểu thức, giải phương trình nhờ hằng đẳng thức:
AA
=
2
- Rèn kĩ năng trình bày bài giải một cách cẩn thận, lôgíc.
II. Tiến trình dạy học:
(Tiết 1)
Dạng 1: Tìm điều kiện để
A
có nghĩa
Phương pháp:
A
có nghĩa ⇔ A ≥ 0
A
1
có nghĩa ⇔ A > 0
B
A

có nghĩa ⇔ A ≥ 0 và B > 0 hoặc A ≤ 0 và B < 0
A.B
có nghĩa ⇔ A ≥ 0 và B ≥ 0 hoặc A ≤ 0 và B ≤ 0
Bài 1: Với giá trị nào của a thì các căn thức sau có nghĩa:
a)
2
a
1

b)
2a-1
1a

2
+
c)
1a
2
−
d)
2
a - 4
a)
2
a
1

có nghĩa
00
a
1

2
≠⇔≥⇔
a
b)
2a-1
1a

2
+
có nghĩa
02a-10
2a-1
1a

2
>⇔≥
+
⇔
(vì a
2
+ 1 > 0, ∀a ∈ R)
Trang 9 Gv: Lê Nguyên Trúc Dung
Trường THCS Lê Thanh Liêm Chủ đề tự chọn Đại Số 9
2
1

<⇔
a
c)
1a
2
−
có nghĩa
1 11a 01a
22
≥⇔≥⇔≥⇔≥−⇔
aa
hoặc a ≤ – 1
d)
2
a - 4
có nghĩa
22240a - 4
22
≤≤−⇔≤⇔≤⇔≥⇔
aaa
Bài 2: Biểu thức sau đây xác định với giá trị nào của x?
a)
23
+−
x
c)
)2(
+
xx
e)
169
2
+−
xx
b)
32x
4

+
d)
2
x
2

f)
x-2
12

−
x
a)
23
+−
x
có nghĩa ⇔ – 3x + 2 ≥ 0
3
2

≤⇔
x
b)
32x
4

+
có nghĩa ⇔
2
3
0320
32x
4

−
>⇔>+⇔≥
+
xx
c)
)2(
+
xx
có nghĩa ⇔x(x – 2) ≥ 0 ⇔



≥−
≥
02
0
x
x
hoặc



<−
<
02
0
x
x
⇔



≥
≥
2
0
x
x
hoặc



<
<
2
0
x
x
⇔ x ≥ 2 hoặc x < 2
d)
2
x
2

có nghĩa ⇔
000
x
2

2
2
≠⇔≠⇔≥ xx
vì x
2
≥ 0 ∀x
e)
169
2
+−
xx
có nghĩa ⇔
0169
2
≥+−
xx
⇔ (3x – 1)
2
≥ 0 ⇔ 3x – 1 ≥ 0 ⇔
3
1
x
≥
f)
x-2
12

−
x
có nghĩa ⇔



>−
≥−
⇔≥
−
02
012
0
x-2
12

x
x
x
hoặc



<−
≤−
02
012

x
x






<
≥
⇔
2
2
1
x
x
hoặc





>
≤
2
2
1

x
x
⇔
2
2
1

<≤
x

Trang 10 Gv: Lê Nguyên Trúc Dung
Trường THCS Lê Thanh Liêm Chủ đề tự chọn Đại Số 9
Chú ý: Đối với câu c, f ta phải biểu diễn tập nghiệm trên trục số. Hoặc lập bảng xét dấu (theo
quy tắc bên phải giá trị nghiệm của đa thức f(x) = ax + b cùng dấu với hệ số a, còn bên trái giá
trị nghiệm của đa thức f(x) = ax + b khác dấu với hệ số a: “phải cùng trái khác”)
Ví dụ: với câu f:
x
2
1

2
2x – 1 – 0 + +
2 – x + + –
x-2
12

−
x
– 0 + –
Vậy
x-2
12

−
x
≥ 0 ⇔
2
2
1

<≤
x
(tiết2)
Dạng 2: Rút gọn biểu thức
Phương pháp:
Áp dụng



<
≥
==
0Aneu A -
0Aneu
A
2
A
A

Xét các trường hợp A ≥ 0, A < 0 để bỏ dấu giá trị tuyệt đối
Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau:
a)
2
2 x
với x < 0 b)
2
)5(
−
a
với a ≤ 5
c)
10
)10(
−
x
với x ≤ 10 d)
6
2
1
x
với x < 0
Bài 2: Rút gọn biểu thức:
a)
22
)()( yxyx
+−
với 0 ≤ x ≤ y
b)
2
69-2x-6 xx
+−
với x < 3
a)
22
)()( yxyx
+−
=
[ ]
2
))(( yxyx
+−
=
xyyxyx
−=−=−
2
)(
(vì x ≤ y ⇔ x – y ≤ 0)
b)
2
69-2x-6 xx
+−
=
2
)3(-2x-6 x
−
=
x-3-2x-6
=6 – 2x –(x – 3)=3(x – 1)
(vì x < 3 ⇔ x – 3 < 0)
Dạng 3: Giải phương trình
Phương pháp:
Trang 11 Gv: Lê Nguyên Trúc Dung
Trường THCS Lê Thanh Liêm Chủ đề tự chọn Đại Số 9
Áp dụng



<
≥
==
0Aneu A -
0Aneu
A
2
A
A
A
2
= B
2
⇔ A = ± B
Bài 1: Giải phương trình sau:
a)
11
2
+=++
xxx
b)
5225204
2
=++−
xxx
a)
11
2
+=++
xxx
b)
5225204
2
=++−
xxx
⇔



+=++
≥+
22
)1(1
01
xxx
x
⇔
( )
xx 2552
2
−=−
⇔



++=++
≥+
121
01
22
xxxx
x
⇔
xx 2552
−=−
⇔



=
−≥
0
1
x
x
⇔ x = 0 ⇔
2
5
052
≤⇔≤−
xx
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =
74
2
+−
xx
Ta có: A =
74
2
+−
xx
=
3)44(
2
++−
xx
=
33)2(
2
≥+−
x
Biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất tại
3
tại x = 2
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B =
121
2
+−+
xx
Ta có: B =
121
2
+−+
xx
=
)12(21
2
+−−+
xx
=
2
)1(21
−−+
x
21
+≤
Biểu thức B đạt giá trị lớn nhất tại
21
+
tại x = 1
Hướng dẫn về nhà:
- Ôn lại các quy tắc khai phương một tích, một thương, biến đổi biểu thức căn bậc hai.
- Xem lại các bài toán đã giải.
- Chuẩn bị: Chủ đề tiếp theo “Biến đổi biểu thức chứa căn bậc hai”
Trang 12 Gv: Lê Nguyên Trúc Dung

Xem chi tiết: giáo an tự chọn - chủ đề 1