Frame

Hình 4: Chuyển dịch của phần tử khung
Gọi u và v là chuyển dịch theo phương x và z của một điểm vật chất trong khung.
- Chuyển dịch theo phương ngang được phân bố đều trên thiết diện nên :
u
z
(x, z) = v(x)
- Chuyển dịch theo phương x là do sự xoay của thiết diện ngang một góc θ =
dv
dx
,
do đó : u
x
(x, z) = u(x) − z
dv(x)
dx
Vậy, trường chuyển dịch của các điểm vật chất bên trong khung là :





u
x
= u(x) − z
dv(x)
dx
u
y
= 0
u
z
= v(x)
2.2 Tenxơ biến dạng và Tenxơ ứng suất
Tenxơ biến dạng được tính như sau. Theo công thức Cauchy :

ij
=
1
2

∂u
i
∂x
j
+
∂u
j
∂x
i

,
4

xx
=
1
2

∂u
x
∂x
+
∂u
x
∂x

=
∂u
x
∂x
=
du
dx
− z
d
2
v
dx
2
.

yy
=
1
2

∂u
y
∂y
+
∂u
y
∂y

=
∂u
y
∂y
= 0.

zz
=
1
2

∂u
z
∂z
+
∂u
z
∂z

=
∂u
z
∂z
= 0.

xy
= 
yx
=
1
2

∂u
x
∂y
+
∂u
y
∂x

= 0.

xz
= 
zx
=
1
2

∂u
x
∂z
+
∂u
z
∂x

= 0.

yz
= 
zy
=
1
2

∂u
y
∂z
+
∂u
z
∂y

= 0.
Vậy, tenxơ biến dạng có dạng :
 =



xx
0 0
0 0 0
0 0 0


(1)
Giả sử môi trường ta đang xét là một vật liệu đàn hồi đồng chất, đẳng hướng. Theo
định luật Hooke, ta tính tenxơ ứng suất theo các hằng số Lamê.
σ
ij
= λθ

δ
ij
+ 2µ
ij
,
trong đó, λ, µ là các hằng số Lamê phụ thuộc vật liệu, θ

là độ giãn thể tích.
θ

= 
xx
+ 
yy
+ 
zz
= 
xx
σ
xx
= λ
xx
+ 2µ
xx
σ
yy
= λ
xx
σ
zz
= λ
xx

ij
= 0 nếu i = j
Vậy, tenxơ ứng suất có dạng:
σ =


λ
xx
+ 2µ
xx
0 0
0 λ
xx
0
0 0 λ
xx


(2)
2.3 Hàm năng lượng của phần tử khung phẳng
Để dễ dàng hơn trong việc xác định năng lượng của phần tử khung trong quá trình biến
dạng, ta chia nhỏ khung thành các phần tử hữu hạn e.
5
Trong quá trình khung bị biến dạng, xuất hiện 2 loại năng lượng biến dạng. Đó là
năng lượng do công của nội lực và công của ngoại lực.
− Năng lượng biến dạng ảo trong dịch chuyển ảo tương ứng của phần tử thứ e là
công của nội lực.
δW
e
(I)
= −

V
e
σ
ij
δ
ij
dV (3)
Với V
e
là thể tích của phần tử thứ e.
− Lực ngoài tác động lên một phần tử gồm: tải trọng q(x) phân bố theo phương
ngang, p(x) là tải trọng phân bố theo phương dọc trục. Ngoài ra còn kể đến các lực suy
rộng Q
e
i
tương ứng với các dịch chuyển suy rộng ∆
e
i
tại phần thử thứ e. Công của lực
ngoài tương ứng với dịch chuyển ảo là :
δW
e
(E)
=
x
e+1

x
e
q(x)δvdx +
x
e+1

x
e
p(x)δudx +
6

i=1
Q
e
i
δ∆
e
i
(4)
Trong đó :
- Q
e
1
: Lực dọc trục đặt tại phần tử x
e
.
- Q
e
2
: Lực trượt đặt tại phần tử x
e
.
- Q
e
3
: Mô men uốn tại phần tử x
e
khi có dịch chuyển ngang.
- Q
e
4
: Lực dọc trục đặt tại phần tử x
e+1
.
- Q
e
5
: Lực trượt đặt tại phần tử x
e+1
.
- Q
e
6
: Mô men uốn tại phần tử x
e+1
khi có dịch chuyển ngang.
Hình 5: Các lực suy rộng
6
Các dịch chuyển suy rộng tương ứng là :
∆
e
1
= u(x
e
) ∆
e
4
= u(x
e+1
)
∆
e
2
= v(x
e
) ∆
e
5
= v(x
e+1
)
∆
e
3
= θ(x
e
) ∆
e
6
= θ(x
e+1
)
Nguyên lý công ảo
Nếu vật ở trạng thái cân bằng thì tổng công ảo thực hiện được do công của của nội lực
và công của ngoại lực trên dịch chuyển ảo tương ứng thì bằng không.
δW
e
= δW
e
(I)
+ δW
e
(E)
= 0
hay
δW
e
= −

V
e
σ
ij
δ
ij
dV +
x
e+1

x
e
q(x)δvdx +
x
e+1

x
e
p(x)δudx +
6

i=1
Q
e
i
δ∆
e
i
= 0
hay
δW
e
=

V
e
σ
ij
δ
ij
dV −
x
e+1

x
e
q(x)δvdx −
x
e+1

x
e
p(x)δudx −
6

i=1
Q
e
i
δ∆
e
i
= 0 (5)
với

V
e
σ
ij
δ
ij
dV =

V
e
σ
xx
δ
xx
dV =

V
e

dδu
dx
− z
d
2
δv
dx
2

σ
xx
dV
=

V
e
dδu
dx
σ
xx
dV −

V
e
z
d
2
δv
dx
2
σ
xx
dV
=

x
e+1
x
e

V
e
dδu
dx
σ
xx
dV −

x
e+1
x
e

V
e
z
d
2
δv
dx
2
σ
xx
dV
=

x
e+1
x
e

dδu
dx

A
e
σ
xx
dA

dx −

x
e+1
x
e

d
2
δu
dx
2

A
e
zσ
xx
dA

dx
Trong đó, ta đặt

V
e
σ
xx
dA = N(x) = N đặc trưng cho lực dọc trục được tính trên đơn vị
độ dài và

V
e
zσ
xx
dA = M(x) = M đại lượng đặc trưng cho mô men quán tính hình học
của tiết diện ngang theo phương Ox.
Khi đó:
δW
e
(I)
=

V
e
σ
ij
δ
ij
dV =

x
e+1
x
e

dδu
dx
N

dx −

x
e+1
x
e

d
2
δu
dx
2
M

dx (6)
7
Theo Nguyên lý công ảo: Chuyển dịch thực là chuyển dịch làm cực tiểu hoá năng
lượng toàn phần của phần tử.
Do đó :
δW
e
= 0
Vì thế từ (5) và (6) ta được:
x
e+1

x
e

dδu
dx
N −
d
2
δu
dx
2
M

dx −
x
e+1

x
e
q(x)δvdx −
x
e+1

x
e
p(x)δudx −
6

i=1
Q
e
i
δ∆
e
i
= 0 (7)
Sử dụng công thức tích phân từng phần :
x
e+1

x
e
dδu
dx
Ndx = δuN




x
e+1
x
e
−
x
e+1

x
e
δu
dN
dx
dx (8)
x
e+1

x
e
d
2
δv
dx
2
Mdx =
dδv
dx
M




x
e+1
x
e
−
x
e+1

x
e
dδx
dx
dM
dx
dx
=
dδv
dx
M




x
e+1
x
e
−δv
dM
dx




x
e+1
x
e
+
x
e+1

x
e
δv
d
2
M
dx
2
dx (9)
Thay (8) và (9) vào (7). Để cho gọn ta đặt x
e
= a, x
e+1
= b.
0 = δuN




b
a
−
b

a
δu
dN
dx
dx −
dδv
dx
M




b
a
+δv
dM
dx




b
a
−
b

a
δv
d
2
M
dx
2
dx −
b

a
q(x)δvdx
−
b

a
p(x)δudx −
6

i=1
Q
e
i
δ∆
e
i
hay
0 = δu(b)N(b) − δu(a)N(a) −
dδv
dx
(b)M(b) +
dδv
dx
(a)M(a) + δv(b)
dM
dx
(b)
− δv(a)
dM
dx
(a) −
b

a

dN
dx
+ p(x)

δudx −
b

a

d
2
M
dx
2
+ q(x)

δvdx −
6

i=1
Q
e
i
δ∆
e
i
(10)
8
Tại các nút x
e
và x
e+1
có sự chuyển dịch là:
∆
e
1
= u(a) ∆
e
2
= v(a) ∆
e
3
= −
dv
dx
(a)
∆
e
4
= u(b) ∆
e
5
= v(b) ∆
e
6
= −
dv
dx
(b)
Thay vào phương trình (10):
0 = −
b

a

dN
dx
+ p(x)

δudx −
b

a

d
2
M
dx
2
+ q(x)

δvdx + N(b)δ∆
e
4
− N(a)δ∆
e
1
+ M(b)δ∆
e
6
− M(a)δ∆
e
3
+
dM
dx
(b)δ∆
e
5
−
dM
dx
(a)δ∆
e
2
− Q
e
1
δ∆
e
1
− Q
e
2
δ∆
e
2
− Q
e
3
δ∆
e
3
− Q
e
4
δ∆
e
4
− Q
e
5
δ∆
e
5
− Q
e
6
δ∆
e
6
(11)
hay
0 = −
b

a

dN
dx
+ p(x)

δudx −
b

a

d
2
M
dx
2
+ q(x)

δvdx + δ∆
e
1
[−Q
e
1
− N(a)]
+ δ∆
e
4
[N(b) − Q
e
4
] + δ∆
e
2

−
dM
dx
(a) − Q
e
2

+ δ∆
e
3
[−M(a) − Q
e
3
]
+ δ∆
e
5

dM
dx
(b) − Q
e
5

+ δ∆
e
6
[M(b) − Q
e
6
]
(12)
Ta thấy, do các thành phần δ∆
e
i
, i = 1, 6 là độc lập nhau và δu và δv cũng độc lập
nhau nên:
d
2
M
dx
2
+ q(x) = 0 −
dM
dx
(a) − Q
e
2
= 0
dN
dx
+ p(x) = 0
dM
dx
(b) − Q
e
5
= 0 −N(a) − Q
e
1
= 0 M(b) − Q
e
6
= 0
−M(a) − Q
e
3
= 0 N(b) − Q
e
4
= 0
Suy ra các tải trọng:
q(x) = −
d
2
M
dx
2
, p(x) = −
dN
dx
(13)
Và các lực suy rộng :
Q
e
1
= −N(a) Q
e
4
= N(b)
Q
e
2
= −
dM
dx
(a) Q
e
5
=
dM
dx
(b)
Q
e
3
= −M(a) Q
e
6
= M(b)
(14)
9
(∗)Ta tính N và M: Theo định luật Hooke, quan hệ giữa ten xơ ứng suất và ten xơ biến
dạng được biễu diễn bởi:
σ
xx
= E
xx
Cho nên:
N =

A
e
σ
xx
dA =

A
e
E
xx
dA =

A
e
E

du
dx
− z
d
2
v
dx
2

dA
=

A
e
E
du
dx
dA −

A
e
E
d
2
v
dx
2
zdA
=

A
e
E
du
dx
dA
= A
e
E
du
dx
(15)
và
M =

A
e
zσ
xx
dA =

A
e
E
xx
zdA =

A
e
E

du
dx
− z
d
2
v
dx
2

zdA
=

A
e
E
du
dx
zdA −

A
e
Ez
2
d
2
v
dx
2
dA
= −

A
e
Ez
2
d
2
v
dx
2
dA
= −E
d
2
v
dx
2

A
e
z
2
dA
= −EI
(e)
d
2
v
dx
2
(16)
với I
(e)
=

A
e
z
2
dA là mômen quán tính hình học của tiết diện ngang.
Từ phương trình (7) ta được hai phương trình độc lập giữa δu và δv là:
0 =
b

a

dδu
dx
N

dx −
b

a
p(x)δudx − Q
e
1
δ∆
e
1
− Q
e
4
δ∆
e
4
(17)
0 =
b

a

−
d
2
δv
dx
2
M

dx −
b

a
q(x)δvdx − Q
e
2
δ∆
e
2
− Q
e
3
δ∆
e
3
− Q
e
5
δ∆
e
5
− Q
e
6
δ∆
e
6
(18)
Thay N và M ở phương trình (15) và (16) vào phương trình (17),(18) :
0 =
b

a
A
e
E
du
dx
dδu
dx
dx −
b

a
p(x)δudx − Q
e
1
δ∆
e
1
− Q
e
4
δ∆
e
4
(19)
0 =
b

a
EI
e
d
2
v
dx
2
d
2
δv
dx
2
dx −
b

a
q(x)δvdx − Q
e
2
δ∆
e
2
− Q
e
3
δ∆
e
3
− Q
e
5
δ∆
e
5
− Q
e
6
δ∆
e
6
(20)
10
hay
0 =
x
e+1

x
e
A
e
E
du
dx
dδu
dx
dx +
x
e+1

x
e
EI
e
d
2
v
dx
2
d
2
δv
dx
2
dx −
x
e+1

x
e
q(x)δvdx −
x
e+1

x
e
p(x)δudx
− Q
e
1
δ∆
e
1
− Q
e
2
δ∆
e
2
− Q
e
3
δ∆
e
3
− Q
e
4
δ∆
e
4
− Q
e
5
δ∆
e
5
− Q
e
6
δ∆
e
6
(21)
Các phương trình (19),(20) hay (21) là phương trình mô tả các biến dạng của phần tử
khung.
2.4 Xây dựng mô hình phần tử hữu hạn.
Để áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn, ta cần xấp xỉ các hàm chuyển dịch bằng các
hàm nội suy. Để đảm bảo ý nghĩa vi phân (đạo hàm) và các đặc trưng vật lý (uốn và
kéo nén) của chúng, ta sẽ xấp xỉ như sau : chuyển dịch u bằng hàm nội suy Lagrange,
chuyển dịch v bằng hàm nội suy Hermite
2
tại các nút x
e
và x
e+1
.
u(x) = u(x
e
)L
1
(x) + u(x
e+1
)L
2
(x).
v(x) = v(x
e
)H
1
(x) +
dv
dx
(x
e
)H
2
(x) + v(x
e+1
)H
3
(x) +
dv
dx
(x
e+1
)H
4
(x).
trong đó :
• Các hàm nội suy Lagrange :
L
1
(x) =
x
e+1
− x
x
e+1
− x
e
L
2
(x) =
x − x
e+1
x
e+1
− x
e
• Các hàm nội suy Hermite :
2
Tham khảo thêm ở phần Phụ Lục.
11
H
1
(x) = [1 − 2L

1
(x
e
)(x − x
e
)]L
2
1
(x)
=

1 +
2(x − x
e
)
x
e+1
− x
e

x
e+1
− x
x
e+1
− x
e

2
=
1
(x
e+1
− x
e
)
3
(2x + x
e+1
− 3x
e
)(x
e+1
− x)
2
H
2
(x) = (x − x
e
)L
2
1
(x)
= (x − x
e
)

x
e+1
− x
x
e+1
− x
e

2
=
1
(x
e+1
− x
e
)
2
(x − x
e
)(x
e+1
− x)
2
H
3
(x) = [1 − 2L

2
(x
e+1
)(x − x
e+1
)]L
2
2
(x)
=

1 −
2(x − x
e+1
)
x
e+1
− x
e

x − x
e
x
e+1
− x
e

2
=
1
(x
e+1
− xe)
3
(3x
e+1
− x
e
− 2x)(x − x
e
)
2
H
4
(x) = (x − x
e+1
)L
2
2
(x)
= (x − x
e+1
)

x − x
e
x
e+1
− x
e

2
=
1
(x
e+1
− x
e
)
2
(x − x
e+1
)(x − x
e
)
2
Đặt : x
e+1
− x
e
= l
e
thì
L
1
(x) =
1
l
e
(x
e+1
− x)
L
2
(x) =
1
l
e
(x − x
e+1
)
H
1
(x) =
1
(x
e+1
− x
e
)
3
(2x + x
e+1
− 3x
e
)(x
e+1
− x)
2
H
2
(x) =
1
(x
e+1
− x
e
)
2
(x − x
e
)(x
e+1
− x)
2
H
3
(x) =
1
(x
e+1
− xe)
3
(3x
e+1
− x
e
− 2x)(x − x
e
)
2
H
4
(x) =
1
(x
e+1
− x
e
)
2
(x − x
e+1
)(x − x
e
)
2
12
Từ đó, ta có:
u
(e)
(x) = u(x
e
)L
(e)
1
(x) + u(x
e+1
)L
(e)
2
(x) = [L]
(e)
[u]
(e)
(22)
v
(e)
(x) = v(x
e
)H
(e)
1
(x) +
dv
dx
(x
e
)H
(e)
2
(x) + v(x
e+1
)H
(e)
3
(x) +
dv
dx
(x
e+1
)H
(e)
4
(x)
= [H]
(e)
[v]
(e)
. (23)
trong đó :
[L]
(e)
= [L
(e)
1
L
(e)
2
],
[H]
(e)
= [H
(e)
1
H
(e)
2
H
(e)
3
H
(e)
4
] là ma trận các hàm dạng.
[u]
(e)
= [u(x
e
) u(x
e+1
)]
T
,
[v]
(e)
= [v(x
e
)
dv
dx
(x
e
) v(x
e+1
)
dv
dx
(x
e+1
)]
T
là các dịch chuyển nút phần tử.
Thay (22) và phương trình (19), ta được :
x
e+1

x
e
A
e
E

d[L]
(e)
dx
[u]
(e)

d[L]
(e)
dx
[δu]
(e)

dx −
x
e+1

x
e
p(x)[L]
(e)
[δu]
(e)
dx −
2

i=1
Q
e
i
δ∆
e
i
= 0
hay
[δu]
(e)




x
e+1

x
e
A
e
E[B]
(e)T
[B]
(e)
dx


[u]
(e)
−
x
e+1

x
e
p(x)[L]
(e)
dx −
2

i=1
Q
e
i


= 0
Do biến phân là tuỳ ý nên :


x
e+1

x
e
A
e
E[B]
(e)T
[B]
(e)
dx


[u]
(e)
−
x
e+1

x
e
p(x)[L]
(e)
dx −
2

i=1
Q
e
i
= 0 (24)
Đặt
[K
1
]
(e)
=
x
e+1

x
e
A
e
E[B]
(e)T
[B]
(e)
dx và gọi là ma trận độ cứng phần tử,
[P
1
]
(e)
=
x
e+1

x
e
p(x)[L]
(e)
dx +
2

i=1
Q
e
i
là vectơ tải phần tử.
(của phần tử khung khi xuất hiện biến dạng kéo nén dọc trục).
Nên phương trình (24) thành :
[K
1
]
(e)
[u]
(e)
− [P
1
]
(e)
= 0 (25)
13

Xem chi tiết: Frame